2015全国高中数学联赛模拟试 题总

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1、2015年全国高中数学联赛模拟试题01第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.设，，，则______.2.设，．若的非空子集个数为1，则实数的取值范围是．3.设是满足的点构成的区域，则区域的面积为_______.（其中表示不超过实数的最大整数）.4.二元函数的最大值为___5.已知是双曲线上靠近点的一个顶点．若以点为圆心，长为半径的圆与双曲线交于3个点，则的取值范围是．6.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为，第偶数局，乙赢的概率为.每一局没有平局，规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为______

2、__.7.设五边形满足，则的最小值为8.过正四面体的顶点作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面所成的角为.这样的截面共可作出个.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.试求实数的取值范围，使得是不等式的最小整数解.10.（本小题满分20分）、数列定义为，，.⑴求证：数列为整数列；⑵求证：是完全平方数.11.（本小题满分20分）已知S,P(非原点)是抛物线y=x2上不同的两点,点P处的切线分别交x,y轴于Q,R.(1)若,求的值;(2)若,求ΔPSR面积的最小值.2015年全国高中数学联赛模拟试题01加试一、（本小题满分40分）一、如图，设为的一个交点，直线切分别于

3、，为的外心，关于的对称点为，为的中点.求证：.二、（本小题满分40分）设.证明:对任意m∈N*,存在n∈N*,使得[Sn]=m.三、（本小题满分50分）试求所有的正整数，使得存在正整数数列，使得和互不相同，且模4意义下各余数出现的次数相同.四、（本小题满分50分）集合是由空间内2014个点构成，满足任意四点不共面.正整数满足下列条件：将任意两点连成一条线段，并且在此线段上标上一个的非负整数，使得由中顶点构成的任何一个三角形，一定有两边上的数字是相同的，且这个数字小于第三边上的数字.试求的最小值.2015全国高中数学联赛模拟试题02一、填空题（每小题8分，共64分）1.在如下图所示的正方体中，二

4、面角等于（用反三角函数表示）2.如果三角形的三个内角满足依次成等差数列，则角的最大值是3.实数列满足条件：，则通项公式。4.是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，如果的面积为1，则5.在同一直角坐标系中，函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是6.已知正实数与非负实数满足(1);(2)，则的最大值为__________．7.已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．8.设是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积是二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）设数列的前项和组成的

5、数列满足，已知求数列的通项公式。10.（20分）设是多项式方程的三个根。（1）已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：9.（20分）如下图，椭圆是椭圆上的两点，直线是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点，求证：三条直线和共点。2015全国高中数学联赛模拟试题02一（本题满分40分）对任意实数，定义运算“”为：．在直角坐标系中，设点集，求所对应的平面区域的面积．二（本题满分40分）如图，在中，，为的垂心，M为边BC的中点，点在边上且满足，点在直线上的射影为.证明：的外接圆与的外接圆相切.三（本题满分50分）整数满足.求的最小值,并求出一切达到最小值的四元数

6、组四（本题满分50分）设整数,，，对，记为满足，，的数组的个数，类似定义，.证明：.2015全国高中数学联赛模拟试题03一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.已知函数，若实数满足，则的取值范围是__________．2.函数满足，则的最大值为．3.设复数，，，（），则当取到最小值时，________________4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一个正四棱柱，底面边长为，高为，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，a的值应取为．5.在中，，是所在平面上任意一点，则的最小值是______________6.正数列满足:(为前项

7、之和),则=_____________________．7.设过点的直线与抛物线交于点，与圆交于点，若且，则这样的直线的条数是8.6名男生和名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻.至少有名男生站在一起的概率为，若，则的最小值为．二、简答题（本大题共3小题，共56分）9.已知正数数列满足：（），且，求的通项公式．10.二次函数的图像开口向上，与轴正向交于两点，与轴交于点，以为顶点，若三角形