拓扑学的探究

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1、公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius,1790〜1868）和约翰•李斯丁发现：把一根纸条扭转180°麻，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正血，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个而（即单侧曲面），一只小虫门J以爬遍整个曲而而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”。（也就是说，它的曲面只有一个）拿一张口的长纸条，把-面涂成黑色，然后把其屮--端翻-•个身，粘成一个莫比乌斯带。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而

2、剪出一个两倍长的纸圈。新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却和互套在一起。把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了，得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之屮，只是每条纸圈木身并不打结罢了。莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不nJ思议地在莫比乌斯带上获得了解决。比如在普通空间无法实现的”手套易位”问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地

3、戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的対称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们Z间有着极大的不同。理解：这是说明三维空间中可以做到二维的图形，使Z在二维情形下沿一个方向走可走遍该图形（如果一个平面生物，冇这个带子这么宽，它是只能分辨出二维的，那他只能感知平面的东西，分不出高度和空间）。其它维度下也有，例如一个圆，在一维情形下也可看作是一个类似于莫比乌斯

4、带的东西（在一维条件下，沿一个方向走，绕圆周一圈）。故事：莫比乌斯带”有点神秘，一时又派不上用场，但是人们述是根据它的特性编出了一些故事，据说冇一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷止是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官iM也去办理。聪明的执事官将纸条扭了个弯，用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确

5、实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好臼认倒霉。县官知道执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。一日，又拿了一张纸条，耍执事官一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。执事官不慌不忙地把纸条扭了一下，粘住两端，提笔在纸坏上一划，乂拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑色。县官的毒计乂落空了。现实可能根木不会发生这样的故事，但是这个故事却很好地反映出“莫比乌斯带”的特点。引出：拓扑变换莫比乌斯带是一种拓展图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只耍在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点

6、，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮儿何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8。因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成&“莫比乌斯带”正好满足了上述要求。克莱因瓶在数学领域中，克莱因瓶(Kleinbottle)是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”

7、和“外部”Z分。在拓扑学中，克莱因瓶(KleinBottle)是一个不可定向的拓扑空间。克莱因瓶最初由徳国儿何学人家菲立克斯•克莱因(FelixKlein)捉出。在1882年，著名数学家菲立克斯•克莱因(FelixKlein)发现了后來以他的名字命名的著名“瓶子”。克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部冇一个洞，现在延氏瓶了的颈部，并R扭曲地进入瓶了内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的衣血不会终结。它和球血不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面(即它没有

8、内外之分)。或者可以说，这个瓶子不能装水。在1882年，著名数学家菲利克斯•克莱因(FelixKlein)发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个像球面那样封闭的(也就是说没冇边)曲面，但是它却只冇一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就像是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一•起。如