专题10 函数的周期性与对称性-2017原创精品之高中数学

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1、I．题源探究·黄金母题例1设，求证：（1）；（2）.【解析】（1）（2）例2容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心。除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是?你能用已学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题。【解析】由周期函数的性质知，T=2π所以对称中心为，正弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知其对称轴方程纬。对于余弦函数同样有类似的性质，因为cosA=sin(A+)所以对称中心为，余弦曲线是轴对称图形同样由周期函数的性质知

2、X=Kπ(K为整数)正切函数同样有类似的性质，对称中心为(kπ/2,0)(K为精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第44页A组第8题【母题评析】本题以为载体，考查函数奇偶性的证明、复合函数的运算问题，此类问题是高考常考的题型之一。【思路方法】赋值法是解决复合函数、函数奇偶性的判断问题常用的解题方法之一，使用时要注意赋值的合理性。精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第46页A组第11题【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点。【思路方法】

3、以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。整数)但不是轴对称图形，而是中心对称图形。例3已知函数y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题：(1)求函数的周期；(2)画出函数y＝f(x＋1)的图象；(3)你能写出函数y＝f(x)的解析式吗？考点：函数的图象,函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）从图象得知，x从0变化到1，函数经历个周期，即，故函数的周期T=2；（2）函数y=f（x+1）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f（x）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f（x+1）的图象

4、经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象：（3）当-1≤x＜0时，f（x）=-x，当0≤x＜1时，f（x）=x；当2n-1≤x＜2n时，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x，当2n≤x＜2n+1时，f（x）=f（x-2n）=x-2n，∴（n为整数）点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式，属于基础题．精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第3题【母题评析】本题以y＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一。【思路方法】数形结合思想是

5、高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”。II．考场精彩·真题回放【例1】【2016年高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.，当x<0时，；当时，；当时，.则f(6)=（）（A）−2（B）−1（C）0（D）2【答案】D【解析】当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.【例2】【2016高考新课标1卷】已知为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为()（A）11        （B）9     （C）7        （D）5【答案】B

6、【解析】因为为的零点,为图像的对称轴,所以,即,所以,又因为在单调,所以,即,由此的最大值为9.故选B.【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，

7、如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围.备考时应加强对这部分内容的训练.【例3】【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【解析】，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．【例4】【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，(,若，则的值是.【答案】【解析】，因此【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结