专题1第2讲数形结合思想

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1、二、数形结合（1）数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问逖具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的規律性与灵活性的有机结合.（2）数形结合包含“以形助数''和“以数辅形"两个方而，其应用大致可以分为两种怖形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的箱确性和规范严密

2、性来阐明形的某些癘性，即以数作为手段.形作为目的.如应用曲线的方程来祷确地阐明曲线的几何性质.2.数形结合的途径⑴通过坐标系“形题数解"借助于直角坐标系.复平面，可以将几何问题代数化.这一方法在解析几何中体現得和当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的）.值得强调的是，“形題数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用.可以大大缩短代数推理）.实現数形紬合，常与以下內容冇关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系：③曲线与方程的对应关系：④以几

3、何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数.三角鬲数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式（“一2）2+0—1）2=4.表示坐标平面内以（2,1）为圆心，2为半径的圆.（2）通过转化枸造“数题形解”许多代数结构都有着相对应的儿何意艾，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a（a>0）与距离互化：将/与面积互化，将孑+62+力=/+//—2

4、曰

5、

6、b

7、cos8（8=60°或&=12（T）与余弦定理沟通；将心400且b+c>a中的念b、c与三角形的三边沟通：将有序实数对（或复数）

8、和点沟通：将二元一次方程与直线.将二元二次方程与相应的圏锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）.另外，函数的图像也是实现數形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常和互渗遙，演绎出解題捷径.［例1］若心）+1=夬卄］）,当xG［0,l］时，fix)=x,若在区间(—1,1］内^x)=fix)—nix—in有两个零点，则实数加的取值范围是（)A.0,£)［思维流程］利用釵杉冷台求万柱孵h*土息两庶（1）讨论方程的解（或函数的零点）可构造两个

9、函数，使问題转化为讨论两曲线的交点问題，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性.全而性，否则会得到错解.（2）正耶作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.厂lgx,x>0t1.函数/U)满足_/U+2)=/U),且兀三［一1,1］时，.心)=1一”，函数g(x)=f°'x=Of则x

10、式x-2a^+a-对x^R恒成立，则a的取值范围是・［思维流程1G桁不M犬仔囲椒."构血Xi数I［分V阖僅n利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长.如杲題设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问題将会顺利地得到解决.1.当圧（1,2）时，不等式（x-l）2

11、a,方是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a—c）・@—c）=0,则

12、c

13、的最大值是（）、迈A.1B.2C.返D.*［思维流程］（1）」-2=gift人值的顷利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特征，确定目标问題的几何意义.一般从图形结构.图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义.第二步：转化为几何问題.第三步：解决几何问題.第四步：回归代数问題.第五步：回顾反思.应用几何意义数形纟古合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要冇：（1）比值——可考虑直线的斜率：（2）二元一次

14、式——可考虑直线的筱距：（3）根式分式——可考虑点到直线的距离：（4）根式——可考虑两点间的距离.211.对于任意xER,函数/（兀）表示一兀+3,去+㊁，4x+3屮的较大者，则几丫）的最小值是（）A.2B.3C.8D.-1“血1+cos2x+4siirx__r,.o4・当0