第2讲数形结合思想

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1、第2讲数形结合思想1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应川大致可以分为两种情形：一是借助形的牛动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来肓观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为冃的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2.运用数形结介思想分析解决问题时，要遵循三个原则：⑴等价性原则.(2)双方性原则.(3)简单性原则.3.数形结合思想解决的问题常有以下儿种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.(3)构

2、建函数模型并结合其图象研究量与量Z间的人小关系.(4)构建函数模型并结合其儿何意义研究函数的最值问题和证明不等式.(5)构建立体几何模型研究代数问题.(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(7)构建方程模型，求根的个数.⑻研究图形的形状、位置关系、性质等.4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平吋学习中加强这方而的训练，以提高解题能力和速度.具体操作吋，应注意以下儿点：(1)准确画出函数图彖，注意函数的定义域.(2)用图彖法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行Z冇效的方法，值得注意的是

3、首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.类型一利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点0例11设函数f(x)(xR)满足/U)=/(2—兀)，且当兀丘［0,1］时，f^x)=x3.又函数g(x)=

4、xcos(7Lx)

5、,r131则函数/2(X)=g(X)—/(X)在［―㊁，寸上的零点个数为.x2+bx+c9xWO变式训练设函数几0=仁八，若人一4)=/(0),人一2)=—2,贝IJ关于兀的方程/(x)=x2,兀＞0的解的个数为.类型二利用数形结合思想解不等式或求参数范围m2i(1)对于实数a和方，定义运算a*b=

6、a2—ab,y—ab,aWb,a>b.设Ax)=(2x-l)*(x-l),且关于兀的方程恰冇三个互不相等的实数根刃，xz，占，则七心3的取值范围是⑵己知奇函数yw的定义域是{蚣工0,XGR},且在(0,+8)上单调递增，若A1)=O,则满足对⑴＜0的x的取值范围是.变式训练(1)使10g2(—X0+1成立的X的取值范围是Nigx,010,围是类型三利用数形结合思想求最值II例31若a,b,c均为单位向量,且a・b=O,(a—c)Q—c)WO,则

7、a+方一c

8、的最大值为()兀

9、一y+lWO,变式训练若实数X,y满足“>0,贝甘的最小值是jW2,练习：1.不等式/_1。财<0,在朋(0,寻时恒成立，则a的収值范围是x+3,xWl,2.已知几力=2",‘则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为—x^十2x十3,x>,

10、x+l,xWO，3.已知函数yw=,八则函数)=/(/«)+1的零点个数是.〔1002兀，兀>0,1.已知平面向量a、〃，

11、a

12、=l,0

13、=羽，且2a+b=y[lf则向量d与向jp：a+b的夹角为2.以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M,N两点，若直线MF

14、(C为椭圆的左焦点)是圆E的切线，贝U椭圆的离心率为.

15、lg

16、x

17、,010,是.7.如果函数y=1+#4_<(*

18、W2)的图像与函数y=k(x~2)+4的图像有两个交点，那么实数£的収值范围是.8.已矢£+壬=1@>0">0),当ah取最小值时，方程迈一伍=—知

19、的实数解的个数是7.已知函数/U)='''(a是常数_F1.a>0).对于下列命题：2ax~1,x>0①函数/(x)的最小值是一1；②函数/(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在*,+8)上恒成立，贝ga的取值范围是Q1;④对任意的七<0,七<0且x^x2,恒有/咛习

20、a評过其中正确命题的序号是.10.设有函数J(x)=a+*/—x2—4x和g(x)=壬+1,已知炸［—4,0］时恒有几QWg(x),求实数a的収值范围.11.已知a>0,函数J［x)=xx-a+(x^R).⑴当a=l时，求所冇使J［x)=x成立的x的值；⑵当aW(0,3)时，求函数y=/(x)在闭区间［1,2］上的最小值.f(x),xWO,g(x),兀＞0,其中Jtx)=ax3—3axf^(x)=

21、x2—Inx,