高一数学期末复习讲义(向量)

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1、高一数学期末复习讲义4平面向量1知识点1平面向量基本概念1、设四边形ABCD中，有＝且

2、

3、＝，则这个四边形是________．答案：等腰梯形知识点2　向量的线性表示2、平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.解：＝a－b，＝＝a－b，＝＋＝a＋b.＝a＋b，＝＋＝＋＝＝a＋b.＝－＝a－b.知识点3　共线向量3、设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b

4、)＝5(a＋b)＝5.∴、共线．又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解：∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a、b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.练习1.已知点在直线MN上，且,若,则______.2.已知△ABC中，点D、E分别为边AC、AB上的点，且DA＝2CD，EB＝2AE，若＝a，＝b，则以a、b为基底表示＝________．答案：b－a解析：由题知＝－＝－a－b，＝＋＝＋＝b－a－b＝b－a.3.设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝A

5、B，BE＝DC，若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝λ1＋λ2，故λ1＝－，λ2＝，则λ1＋λ2＝.4.已知e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝2e1－5e2，＝λe1－e2.若三点A、B、D共线，则λ＝________．答案：8解析：∵A、B、D共线，∴与共线，∴存在实数μ，使＝μ.∵＝－＝(λ－2)e1＋4e2，∴3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，∴∴高一数学期末复习讲义5平面向量2知识点1向量的坐标运算1、已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c

6、，且＝3c，＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标．解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，∴M的坐标为(0，20)．又＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N的坐标为(

7、9，2)，∴＝(9－0，2－20)＝(9，－18)．知识点2　向量平行与垂直2、已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求

8、a－b

9、的值．解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，a－b＝(－2，0)，∴

10、a－b

11、＝＝2；当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，a

12、－b＝(2，－4)，∴

13、a－b

14、＝＝2.综上，可知

15、a－b

16、＝2或2.知识点3　向量的夹角与向量的模3、已知

17、a

18、＝4，

19、b

20、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求

21、a＋b

22、；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．解：(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4

23、a

24、2－4a·b－3

25、b

26、2＝61.又

27、a

28、＝4，

29、b

30、＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.(2)可先平方转化为向量的数量积．

31、a＋b

32、2＝(a＋b)2＝

33、a

34、2＋2a·b＋

35、b

36、2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴

37、

38、a＋b

39、＝.(3)∵与的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又

40、

41、＝

42、a

43、＝4，

44、

45、＝

46、b

47、＝3，∴S△ABC＝

48、

49、

50、

51、sin∠ABC＝×4×3×＝3.知识点4坐标法解题4、如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为轴，AD所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，，，练习：1.若向量a＝(2，3)，b＝(x，－9)，且a∥b，则实数x＝________．答案：－62.已知向量a、b满足

52、a

53、＝1，

54、b

55、＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．答