5-三角函数恒等变换_题型总结

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1、sin(«±0)=sinacos0±cos°sin0；cos(a±0)=cosacos/?+sinasin0；tan(

2、少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幕公式sinqcosq=—sin；2(2)辅助角公式sin2or=1-COS2(7cos2a=1+cos2a2•sin(兀+0),asinx+bcosx=a2+b?中sin(p—~.^=~,cos(p—~(=Ja2+b2Ja2+b24.三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的和都是非特殊角，要观察所给和与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数

3、值，解题的关键在于“变角”，如a=（a+p）_p,2a=（a+p）+（a—0丿等，把所求角用含已知角的式了表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。5.三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应川化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“界”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。题型1:两角和与差的三角函数例1

4、.已知sina+sin0=1,cosq+cos0=0,求cos(a+0)的值。分析：因为(Q+0)既可看成是Q与册勺和，也可以看作是冬y的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由已知sinQ+sin0=l①，cosa+cos0=0②，①2+②2得2+2COS(q—0)=1;①2—②2得cos2a+cos20+2cos(cr+0)=—1,即2cos(q+0)(cos(q-0)+1)=—LCOS(Q+/?)=-!o解法二：由①得2sincos—~—=1③12由②得2cosQ+"cos~—=0④22④一③得cot'+"=0,2

5、•••COS(Q+0)=(▲2+01-tan*2t2Q+01+tan—2cot2cot2a+(32点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错谋是利用方程组解sinscosa、sin/?、cos/?,但未知数冇四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没冇注意到所求式与已知式的关系•木题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例2.已知tana,tan0是方程/-5x+6=0的两个实根根，求2sin2(o+0)-3sin(a+p)cos(

6、a+tan(5及tancrtan0的值,进而町以求出tan(o+0)的值，再将所求值的三角函数式用tan(a+/?)表示便可知其值。解法一：由韦达定理得tan«+tan0=5,tana•tan/?=6,所以+怕2+間0=丄1一tana•tan01-6sin2(&+/?)+cos2(a+0)原弋2sin2(Q+0)-3sin(a+0)cos(Q+0)+cos2(a+0)2tan2(a+0)-3tan(a+0)+l2x1-3x(-1)+1tan2(a+0)+1—3解法二：由韦达定理得tana+tan0=5,tana•tan0=

7、6,所以®C+0)=加陀+tan0亠1一tana・tan01-6于是有a+卩=k7i+—7T3.——sin(3)2+COS14)2{2丿k4丿(仁Z),原式=2sin222点评：(1)本例解法二比解法一婆简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识“最近发展区”。(2)运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅耍记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等•抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析

8、题设和结论等三角函数式屮所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。(3)对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如cos(a+0)cos[i+sin(a+0)sin0=cosq，tan(