[工学]曲线积分与曲面积分测试题解答

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1、曲线积分与曲面积分测试题解答1.已知曲线弧厶:y二丁1_兀2(05兀51),计算£xyds.(-X,71-X27解：d$=a1+dydx丫](lx—-rr(ix,1-x2[xyds—J。xdx-+。注：计算曲线积分吋，对圆弧宜用参数方程。2.设厶是曲线x=/+l,y=F+1上从点(],i)到点(2,2)的一段弧，计算/=£2ydx+(2-x)dy解：/=J；[2(/2+1)+(1_/)•2t]dt二J；(2+2t)dt=3o/»3.计算()x3dy-y3dx.厶为圆周x2+/=2x沿逆时针方向。L解：设Z):x2+y2<2x,rtl格林公式得O也_y3必=d(3兀2+3/如y=打朋广“3&丿D

2、=12天HO1—Q学宀处24加血如24.厂.矿尹4.计算£(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy,其中厶为上半圆周y=丁2处二针方向。解：记厶为y=0上从x=2a到兀=0的有向线段，D:Q

3、线积分J(,：(F+y)〃+(—2sin2y)dy与路径无关，f(1,1)J(0.0)(x2+y)d¥+(x-2sin2y)dy=^x~dx--^(1-2sin2y)dyJO§+J；cos2曲6.利用线积分计算星形线x=61cos3t,y=osir?t所围成图形的面积。解：A=—Jxdy-ydx2']r2/r3°3°=—[acos'/•3qsirr/cosf一asin/•3acos~/(-sint)]dt2龙993a_f2兀cos~r•sin■tdt=(l-cos4/)df=o16J。3a$~T32—7iao87.计算曲线积分I=i)Xdy~yd^，其中厶是以点(1,0)为中心，/?为半径的

4、圆周(/?>1),J4〒+y・L取逆时针方向。解:取厶:4x2+y2:Q=.2X2>4xz+y_由格林公式得1,沿逆吋针方向。记D为厶与厶所为环域,dP_y2-4x2dy(4x2+y2)2，dQ_y2-4x2dx(4x2+y2)2'Z»()JZL-厶瞬当切(器-肇)d砂"4jt+ydxdyXdy~ydx^xdy-ydX=^厶8.设函数Q(jv,刃在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分LZxydx+Q(x,y)cly与路径无关，且对任意t恒有r(/,!)J(o.o)2x>，6?x+e(x,y)^=求Qgy)。(1J)^2xydx+Q{x,y}dy解：由曲线积分2xydx+Q(x,y)dy与

5、路径无关，知=2x,Q(x,y)=x2+C(y),dxrdA)•1(00)力)必+2(兀刃处心J；[八+C(y)]右=尸+J；C(y)〃y,f(ij)J(0,0)2xydx+Q(x,y)dy=J(：[l+C(y)]dy=f+j：C(y)如由题设知八+J：c(y)dy=/+J(：C(y)dy,两边对/求导得2r=1+C(r),C(r)=2r-1,从而C(y)=2y-lf所以Q(x9y)=x2+2y-l.9.在变力F=yzi^zxj^xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面222二+呂+二=1上第一卦限的点（§,〃,$），问工取何值时，力尸所作的功w最a~b~c~大？并求出W的最大值。解：原点

6、到点MG“，G的直线段OM为：x=§f,y=7卩,z=G,（从0到1,功W为W=b2yzdx+zxdy+xydz=丄3§〃0,〃>0,<>0)CTL下的最大值。OM(1)作拉格朗日辅助函数L©0=皿+久（笃+密+纟■一1），a/rc厶d=〃$+=o建立方程组〈心+會=0L©-+—v~-°厶"0［即⑴式］解此方程组，得§=务,〃二卓，$=-2,由问题的实际意义知，vvmax=—abcoV3V3V3910.计算/=JJz/S,其中工为上半球面z=yl-x2-y2o解：工在xOy面上的投影区域为D:x2+y2

7、2tt•dxdy,®丿/=jj(l-x2-y2)dxdy=J(「〃0j(：(1-r~)rdr=—。D°°11.计算/=xdydz+ydzdx+Izdxdy,其屮工为曲面z=l-x2-y2在第一•卦限的部分取上侧。注：由JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos0+/?cosy)dS,可得公式jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(-P^-一Q牛+R)dxdy。y*Cz