经济管理数学第3章积分学及其应用

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1、第3章积分学及其应用3.1不定积分3.1.1不定积分概念定义3.1如f(x)和F(x)是定义在某区间上的两个函数，且F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)的原函数.(1)不定积分定义3.2函数的所有原函数，叫做的不定积分，记为，即其中，称为被积函数，“”称为积分符号，称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常量.(3.1)例求下列函数的不定积分：解所以所以所以(2)积分形式不变性如果∫f(x)dx=F(x)，则等式∫f(u)du=F(u)+也成立，这个性质叫积分形式不变性.3.1.2不定积分的

2、性质与积分公式(1)不定积分的性质性质1积分法与微分法互为逆运算1)或2)或(3.2)(3.3)性质2被积函数常数因子可提到积分号外面，即事实上，上式右边的导数这恰好是左边的被积函数.从而知是kf(x)的不定积分，即(3.4)性质3两函数代数和的不定积分，等于每个函数不定积分的代数和，即这是因为上式右边的导数恰好是左边的被积函数.由不定积分定义，有这一法则可以推广到任意有限个函数代数和的不定积分中去.以上性质都假设函数的不定积分存在.(3.5)(2)积分公式表例求下列不定积分：解3.1.3不定积分的计算(1)运用公式法根据积分形式不变性，如∫f(

3、x)dx=F(x)+则有其中为可导函数.例求解积分公式中有可得于是令1+3x=u，两边各自微分d(1+3x)=du，即，有类型1若φ(x)=ax+b，则有例求不定积分.解类型2若φ(x)=xn，则例求不定积分解类型3若则或例求不定积分tanxdx.解类似地，∫cotdx=lnsinx+C.类型4若则例求不定积分解类型5若则例求不定积分解类型6若则例求不定积分解类型7若则例求不定积分tanxdx.解类型8若则例求不定积分解通过以上各类不定积分举例的求解看出，利用这种“凑微分法”求解不定积分，最关键的一步是把被积表达式“凑成”某个函数的微分形式，

4、即将f(x)dx凑成g(φ(x))φ′(x)dx或g(φ(x))dφ(x)=d(G(φ(x)))，其中G′(x)=g(x)，然后再换元，求积分，它的解题程序是：例求不定积分解例求不定积分解(2)换元积分法定理3.1设f(x)连续，单调可微，且∫f(φ(t))φ′(t)d则有换元积分公式其中，t=φ-1(x)是x=φ(t)的反函数.例求下列不定积分：解这是一组被积函数为线性式ax+b开n次方的无理函数(又称根式函数)的积分，即形如的积分，积分的做法是做适当的变量代换，将无理函数的积分转化为有理函数的积分，然后将新积分变量还原为原积分变量即成.增

5、加一些积分公式：(3)分部积分法设u=u(x)与v=v(x)有连续导数，则由函数乘积的微分公式移项得udv=d(uv)-vdu，两边积分有例求解设u=x，dv=cosxdx，则du=dx，v=sinx，由分部积分公式得(3.6)3.2定积分3.2.1定积分概念(1)积累求和问题1)求曲边梯形面积例如，求由连续曲线y=f(x)(设f(x)＞0)和直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形aABb的面积(如图3.4所示).图3.4［分］将区间［a，b］任意划分为n个子区间，取分点坐标为a=x0＜x1＜x2＜＜xi-1＜x0＜＜xn=b，第i个子区间

6、［xi-1，xi］(i=1，2，，n)的长度Δxi=xi-xi-1，从而整个曲边梯形aABb被分成n个以这些子区间为底的小窄曲边梯形.［粗］在第i个小窄曲边梯形中，取［xi-1，xi］上任一点ξi，以f(ξi)代替该小窄曲边梯形的高，则可得该小窄曲边梯形面积ΔAi的近似值是f(ξi)Δxi，即ΔAi≈f(ξi)Δxi［合］整个曲边梯形面积…………［精］根据极限概念，当最大子区间的长度λ=max{Δxi}趋于零时，(自然子区间个数n就该趋于无穷大∞)和式的极限就是整个曲边梯形的面积，即2)求变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知速度v=

7、v(t)≥0是时间区间［T1，T2］上的连续函数，要计算物体在这段时间内所经过的路程.［分］将区间［T1，T2］任意划分为n个子区间，取分点坐标为T1=t0＜t1＜t2＜＜ti-1＜ti＜＜tn=T2，第i个时间区间［ti-1，ti］的长度Δti=ti-ti-1(i=1，2，，n).［粗］在第i段路程中，取［ti-1，ti］上任一时刻ξi的速度v(ξi)代替变化的速度v(t)，得该段路程ΔSi的近似值为v(ξi)Δti，即ΔSi≈v(ξi)Δti.［合］全部路程［精］当最大的一个时间区间长度λ=max{Δti}趋近于零时，和式的极限就是全部路程

8、，即………(2)定积分的定义定义3.3设有界函数f(x)定义在区间［a，b］上，用分点a=x0＜x1＜x2＜＜xi-1＜x