经济管理数学第5章概率统计及其应用

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1、第5章概率统计及其应用5.1随机事件与概率5.1.1随机事件定义5.1样本空间Ω的子集，称为该随机试验的一个随机事件，简称事件，常用大写字母A,B,C，…表示，记为AΩ，BΩ，CΩ，….5.1.2事件的概率(1)统计概率定义5.2(概率的统计定义)如果在n次重复试验中，当n充分大时，事件A在这n次试验中出现的频率稳定在某个固定常数p附近，则称此常数p为事件A出现的统计概率，简称概率，记为(2)古典概率定义5.3(概率的古典定义)在古典概型中，如果基本事件的总数为n，而事件A又由其中mA个基本事件组成，则

2、定义事件A的概率为这叫概率的古典定义，由它所定义的概率，称为古典概率.可见，对古典概型的问题，只要求出基本事件总数n和事件A所包含的基本事件数mA，由公式(5.１)就可直接计算事件A的概率了.(3)事件的关系和运算1)包含如果事件A发生，必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A(或称A是B的子事件)，记为AB.2)相等如果AB，且BA，则称事件A与事件B相等或等价，记为A=B.3)并两事件A与B中至少有一个发生所构成的事件称为A与B的并(或和)，记为A∪B.4)交两事件A与B同时发生所构成的事件，称

3、为A与B的交(或积)，记为A∩B或AB.例如，A2∩A3=A15)互斥事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称事件A与B互斥.如产品合格A1与产品不合格为互斥事件.６)互逆如两事件A与B不同时发生，但又必须有一个发生，即AB=，且A∪B=Ω，则称事件A与B互逆(或对立)或称B是(或A是)的对立事件，记为B=A(或A=B).7)差事件A发生，但事件B不发生所构成的事件称为事件A与B的差，记为A-B，显然图5.1(4)概率的性质性质1(非负性)对任何事件A，均有性质2(规范性)必然事件的概率为1，即性质3(

4、互斥可加性)若事件A，B互斥，即AB=，则推论1若A1，A2，…，An两两互斥，即推论2对立事件概率之和为1，即性质４P()=０.即不可能事件的概率为零.性质5若AB，则性质6(广义加法定理)若A，B为任何二事件，则有5.1.3条件概率及其应用在实际问题中，不仅要考虑事件A的概率P(A)，有时还需要研究在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的条件概率.记为P(A

5、B).(1)条件概率定义5.4在事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做事件A在事件B发生的前提下的条件概率，记作若A，B为两任意事件，且P(

6、B)＞０，则(2)乘法定理设P(B)＞０，则或设P(A)＞０，则类似地,例9设在96件产品中有3件次品，今无放回地依次抽取两件，问两件都是合格品的概率是多少？解设Ai表示“第i次取得合格品”，则两件都是合格品就是A1，A2同时发生，要求的是P(A1A2)，由乘法公式(3)事件的独立性定义5.5若事件A与B满足条件：则称事件A，B，C相互独立.定理5.1若事件A，B相互独立，则这三对事件都相互独立.*(4)全概率公式与贝叶斯公式1)全概率公式设事件A1，A2，…，An满足：则对任何事件B有2)贝叶斯(Bay

7、es)公式设n个事件A1，A2，…，An满足：则对任一概率不为零的事件B有：5.1.4二项概率公式(1)贝努里(Bernouli)概型在相同的条件下，将同一试验重复做n次，如果每次试验的结果都与其他各次试验的结果无关，则称这种试验为重复独立试验.又如果每次试验只有两种可能结果A与，且事件A发生的概率P(A)在每次试验中保持不变，这种n次重复独立试验的随机现象称为n重贝努里概型.这是一种非常重要而又常见的概型，它有广泛的应用，许多实际问题都可归纳为这种概型.一个有放回的抽样模型，就是一个标准的贝努里概型.(

8、2)二项概率公式若一次试验中事件A发生的概率为p，则在n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为其中q=１-p.5.2随机变量及其分布5.2.1随机变量及其分布函数(1)随机变量定义5.6对于随机试验的每个可能结果ω，都有唯一的一个实数值X(ω)与它对应，则称X(ω)为一个随机变量，简记为X.(2)随机变量的分布函数定义5.7设X是一个随机变量，x是任意一实数，令则称函数F(x)为随机变量X的分布函数.(3)分布函数的性质性质1(有界性)０≤F(x)≤1.性质2(单调不减性)若x1＜x2，则F(x1)≤

9、F(x2).性质3(左连续性)F(x-0)=F(x).5.2.2离散型随机变量及其分布(1)概率函数和分布函数定义5.8设随机变量X的可取值为：x1，x2，…，xi，…，其相应的概率分别为p1，p2，…，pi，…，则等式称为随机变量X的概率函数，表格称为X的概率函数或分布列，并称X为离散型随机变量.离散型随机变量的概率函数具有以下两个基本性质:(2)常用的典型分布1)两点(0-1)分布若随机变量X只能取0和1两个值，它们的概率