应用概率统计第4章.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特性也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.例如考察某型号电视机的质量：平均寿命18000小时±200小时.考察一射手的水平:既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有

2、重要意义.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差本章内容随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写4.1随机变量的数学期望例用分布列表示设X为离散r.v.其分布列为若无穷级数其和为X的数学期望，记作E(X),即1.数学期望的定义绝对收敛,则称定义1设连续r.v.X的d.f.为若广义积分绝对收敛,则称此积分为X的数学期望记作E(X),即定义2P86.1设随机变量X的分布律为求例X~B(n,p),求E(X).解特例若X~B(1,p),则E(X)例X~P(λ),求E(X).例3设r.vX服从几何分布，P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1

3、,2,…，其中0

4、法是:因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.是否可以不求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的.公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.设离散r.v.X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则(1)Y=g(X)的数学期望设连续r.v.X的d.f.为f(x)绝

5、对收敛,则若广义积分P86.1设随机变量X的分布律为求例设随机变量X的概率密度为求Y=e－2X的数学期望.市场上对某种产品每年需求量为X(t)，X~U(2000,4000),每出售1t可赚3万元,若售不出去，则每台需保管费1万元，问应该组织多少货源,才能使平均利润最大？最大期望值为多少？解设组织nt货源,利润为Y显然，2000

6、)=E(X)+E(Y);P75.8例求二项分布的数学期望若X表示n重贝努里试验中的“成功”次数X~B(n,p)，设则X=X1+X2+…+Xni=1,2，…，nP75.9可见服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.=np因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=E(Xi)==pP76.11一台设备由三部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30。假设每台部件的状态是相互独立的。(2)以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望。设则X=X1+X2+X3i=1,2,3EX=EX1+EX2+EX34.2

7、方差我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3有五个不同数有四个不同数再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要介绍的方差若E[X-E(X)]2存在,则称其为随机称为X的均方差或标准差.1

8、.方差概念