离散傅里叶 变换

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1、第三章离散傅里叶变换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。§3-1引言一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用

2、工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。二.DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。傅氏变换离散量化DFT(FFT)信号处理§3-2傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换tX(t)时域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性：时域连续，则频域非周期。反之亦然。二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数0t------0*时域周期为Tp,频域谱线间隔为2π/Tp时域信号频域信

3、号连续的周期的非周期的离散的三.离散时间、连续频率的傅氏变换--序列的傅氏变换x(nT)T-T0T2Tt时域信号频域信号离散的非周期的周期的连续的四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFTt0T2T12NnNT00123k由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号频域信号离散的周期的周期的离散的DFT的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换：视作n的函数，视作k的函数，这样,§3-3周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开

4、始的：对上式进行抽样，得：，代入又由于所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。二.的k次谐波系数的求法1.预备知识同样，当时，p也为任意整数，则亦即所以2.的表达式将式的两端乘，然后从n=0到N-1求和，则：通常将定标因子1/N移到表示式中。即：3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号代入，则：正变换：反变换：4.的周期性与用Z变换的求法周期性：用Z变换的求：对作Z变换，1234567(N-1)k=0如果，则有可见，是Z变换在单位

5、圆上抽样，抽样点在单位圆上的N个等分点上，且第一个抽样点为k=0。§3-4DFS的性质一.线性如果则有其中，a,b为任意常数。二.序列的移位如果则有：证明：令i=m+n,则n=i-m。n=0时，i=m;n=N-1时，i=N-1+m所以*和都是以N为周期的周期函数。三.调制特性如果则有证明：时域乘以虚指数()的m次幂，频域搬移m,调制特性。四.周期卷积和1.如果则：2.两个周期序列的周期卷积过程（1）画出和的图形；（2）将翻摺,得到可计算出：计算区mmm0123（3）将右移一位、得到m可计算出：计算区mm0123m（

6、4）将再右移一位、得到，可计算出：（5）以此类推，n13443.频域卷积定理如果，则§3-5DFT--有限长序列的离散频域表示一.预备知识1.余数运算表达式如果，m为整数；则有：此运算符表示n被N除，商为m，余数为。二.有限长序列x(n)和周期序列的关系周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。=,0£n£N-10,其他n有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。如：......n三.周期序列与有限长序列X(k)的关系同样，周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。四.从DFS到

7、DFT从上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。,0£k£N-1,0£n£N-1或者：§3-6DFT的性质一.线性1.两序列都是N点时如果则有：2.和的长度N1和N2不等时，选择为变换长度,短者进行补零达到N点。二.序列的圆周移位1.定义一个有限长序列的圆周移位定义为这里包括三层意思：¶先将进行周期延拓·再进行移位¸最后取主值序列：n0N-1n0周期延拓n0左移2n0取主值N-12.圆周位移的含义由于我们

8、取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列：。三、共轭对称性1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为同样，有2.