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1、小波理论总结、基础知识1•起源与发展小波理论是建立在傅里叶分析和泛函分析基础之上的时频分析工具之一。1910年Haar提出Haar规范正交基1938年Littlewood-Paley对傅里叶级数建立的L-P理论。1974年法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在首先提出的小波变换的概念，引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。1986年，法国数学家Meyer成功地构造出了具有一定衰减性的光滑函数y,它的二进仲缩与平移｛妙/)=2"妙(2“一小：以訂｝构成厶"A)的规范止交基。此前，人们普遍认为这是不可能的L
2、emarie和Battle继Meyer之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的Mallat快速小波分解和重构算法。1988年Daubechies构造了具有紧支集的正交小波基。1989年Coifman,Meyer等人引入了小波包的概念。1990年基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在构造岀来。1992年A.Cohen,I.Daubechhies等人构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关
3、系也得到了深入研究。近年來，一种简明有效的构造小波基的方法提升方案(LiftingScheme)得到很大的发展和重视。利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤，另外，它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为是第二代小波。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。2•傅里叶分析傅里叶(Fourier)分析是数字信号处理的基础，也是现代信号处理的出发点。它将信号分析从吋间域变换到了频率
4、域。（1）傅里叶变换（FT）定义FT：FS二广/(甘购力IFT：f(t)=—^F(co)eiMdco（2）傅里叶变换的性质1）对偶性利用对偶性可以方便地得到一些函数的傅里叶变换或反变换公式，即2）位移时域位移将导致信号频谱增加一个附加相位，但是幅频特性不变，即FT3）卷积卷积特性分为吋域卷积和频域卷积，即FT/；⑴％⑴T片㈣鬥（的FT1•齐⑴也⑴T亍片（劲*坊（劲1714）Parseval定理（内积定理）它表明两个信号在时域和频域屮的内积Z间的关系，即2龙—特殊情况：能量守恒匚L/；⑴『dt=^-匚
5、F（训伽二匚F（f）f
6、df5）尺度仲缩信号在一个域内的伸缩会导致在另一个域的相反方向上的伸缩。（3）离散傅里叶变换（DFT）NT-i—nk"-IDFT：X[k]=^x[n]eA，'=工班刃必巴比=O,1,.・.,N—1w=0?/=01N-I込］k1"-IIDFT:如万計3冷針般1•泛函分析泛函分析是20世纪初开始发展起来的一个重要的数学分支，它是以集合论为基础的现代分析手段，它用更加抽象的概念来描述熟知的对象。（1）函数空间定义祂敦内枳空何枱尔伯材空何F-空间：具有某些内在结构的集合。什么都没附加，称集合；附加度量（测度或距离），称度量空间（测度
7、空间或距离空间）;附加线性结构，称线性空间或向量空间；在线性空间上附加范数，称赋范线性空间；在赋范线性空间上附加内积，称内积空间。Banach空间一一完备赋范线性空间。Hilbert空间——完备内积空间，内积空间必为线性空间。1）线性空间例：平方可积函数空间Z2(/?)=
8、/(x)
9、匚
10、/商2)希尔伯特(Hilbert)空间对于线性空间A2(7?),V/；gGA2(7?)定义内积为v/,g>=ff(x)gx)dxJ—oo(2)基底及展开设6(/)｝为函数序列，令集合X=｛弓％勺⑴仏务eR,kwz则称X为序列依⑴｝张成的线
11、性空间，简记为X=span｛ek｝若序列｛§(/)｝线性无关，便为空间X的一组基底。(3)正交基设x,y为内积空间中的两个元素，若内积<兀』>=0,则称x,y相互止交，简记为x丄尹。若内积空间X中的基底｛e“｝满足(0,加工刃>=S(匕W=1(4)双正交基对于不满足规范正交条件的基底何｝来说，如果存在另一组对偶基底仮｝使得对应的广义傅里叶展开：.m匕n=这种基称为双正交基，互为对偶基底(5)框架设H为Hilbert空间，｛%｝
12、为H屮的一个函数序列，若VfeHf都存在实数A,B使得创/『S刃＜/，必〉卜创/『k则称为框架，其中A,B分别称为框架的上、下界。当A二B时，此框架称为紧框架；尤其当A=B=1吋，此紧框架就变为规范正交基。框架是Hilbert空间中一组完备函数列，完备的意思是空间中任意函数都可以由其表示岀
