2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.3两角和与差的正切教案（含解析）新人教B版

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1、3.1.3　两角和与差的正切学习目标核心素养1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)1．通过两角和与差的正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2．借助两角和与差的正切线的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1．两角和的正切公式Tα＋β：tan(α＋β)＝.2．两角差的正切公式Tα－β：tan(α－β)＝.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？[提示]　(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαt

2、anβ＝.(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanαtanβ＝1－.1．(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝(　　)A．－2－B．－2＋　　C．2－　　D．2＋D　[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D.]2.＝(　　)A．－　　　B．C．－D．D　[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.]3．设tanα＝，tanβ＝，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________．　[∵tanα＝，tanβ＝∴tan(α＋β)＝＝＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈，∴0

3、<α＋β<π，则α＋β＝.]利用公式化简求值【例1】　求下列各式的值：(1)tan15°；(2)；(3)tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°.[思路探究]　把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解]　(1)tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2－.(2)＝＝＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1.(3)∵tan(23°＋37°)＝tan60°＝＝，∴tan23°＋tan37°＝(1－tan23°tan37°)，∴原式＝(1－t

4、an23°tan37°)＋tan23°tan37°＝.1．公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．1．求下列各式的值：(1)；(2)tan36°＋tan84°－tan36°tan84°.[解]　(1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.(2)原式＝tan120°(1－tan36°tan84°)－tan36°tan84°＝tan120°－tan120°tan

5、36°tan84°－tan36°tan84°＝tan120°＝－.条件求值(角)问题【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[思路探究]　先由任意角的三角函数定义求出cosα，cosβ，再求sinα，sinβ，从而求出tanα，tanβ，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]　由条件得cosα＝，cosβ＝，∵α，β为锐角，∴sinα＝，sinβ＝，∴ta

6、nα＝7，tanβ＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.1．通过先求角的某个三角函数值来求角．2．选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．3．给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．(1)已知α∈，sinα＝，求tan的值；(2)如图所示，三个相同的正方形相接

7、，试计算α＋β的大小．[解]　(1)因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以tanα＝＝＝－，故tan＝＝＝.(2)由题图可知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝＝＝1.因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.公式的变形应用[探究问题]1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]　根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC中，tan