2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦教案含解析新人教B版.docx

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1、3.1.1　两角和与差的余弦学习目标核心素养1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3．能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)1．通过两角和与差余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2．借助两角和与差余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β

2、.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？[提示]　依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sinα＝，cosα＝，所以x＝cosα，y＝sinα，即点P坐标为(cosα，sinα)．1．cos22°cos38°－sin22°sin38°的值为(　　)A.　　　　B.C.D.A　[原式＝cos(22°＋38°)＝cos60°＝.]2．化简cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ为(　　)A．sin(2α＋β)B．cos(2α－β)C

3、．cosαD．cosβC　[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.]3．cos(－40°)cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________.　[原式＝cos(－40°)·cos(－20°)－sin(－40°)·sin(－20°)＝cos[－40°＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.]利用两角和与差的余弦公式化简求值【例1】　(1)cos345°的值等于(　　)A．　　　　B．C．D．－(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(

4、θ－24°)；②－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[思路探究]　利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．(1)C　[cos345°＝cos(360°－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝.](2)解：①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos45°＝，所以原式＝；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin7

5、7°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．1．求下列各式的值：(1)cos；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°

6、cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．[解]　(1)cos＝cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－.(2)原式＝－sin100°sin160°＋cos200°cos280°＝－sin80°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80°sin20°)＝－cos60°＝－.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α)＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]

7、＝cos60°＝.给值(式)求值【例2】　(1)已知cosα＝，α∈，则cosα－＝________.(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cosα的值．[思路探究]　(1)可先求得sinα，再用两角差的余弦公式求cos；(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cosα.(1)　[因为cosα＝，α∈，所以sinα＝－，所以cos＝cosαcos＋sinαsin＝×＋×＝.](2)解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β

8、<π.又因为cos(2α＋β)＝，所以0<2α＋β<，所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，所以cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝×＋×＝.给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求