信号与系统教案第5章

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1、为何引入系统的复频域分析？第五章连续系统的s域分析优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。不足：（1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍需按时域方法求解。（2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域分析法。（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。解决方法：采用拉普拉斯变换系统响应频域分析小结为何引入系统的复频域分析？为何引入系统的复频域分析？系统函数H(s)系统的时域特性h(t)系统的频域特性H(jw)系统的稳定性系统的模拟系统的设计系统的复频域分析可以更全面地描述系统的特

2、性，弥补了系统时域与频域描述的不足。第五章连续系统的s域分析第五章连续系统的s域分析5.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域三、(单边)拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的性质5.3拉普拉斯变换逆变换5.4复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的s域框图四、电路的s域模型点击目录，进入相关章节法国数学家、天文学家。1749年诺曼底，1827年卒于巴黎。家境贫寒，靠邻居资助上学，显露数学才华。1785年当选为法国科学院院士。1816年成为法兰西学院院士，次年任该院院长。主要研究天体力学和物理学，认为数学只是一种解决问题的工具，但在运用数学时创

3、造和发展了许多新方法。主要成就是：在《天体力学》阐述了天体运行、地球形状、行星摄动、月离理论和三体问题等等，引入著名的拉普拉斯方程在《概率的分析理论》（1812）中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举、审判调查、气象等方面的应用，导入「拉普拉斯变换」等。拉普拉斯（Laplace,1749-1827）第五章连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一

4、章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。第五章连续系统的s域分析5.1拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为f(t)e-t=Fb(

5、+j)=ℱ[f(t)e-t]=令s=+j,d=ds/j，有5.1拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。5.1拉普拉斯变换例1因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=>时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界5.1拉普拉斯变换例

6、2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=<时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。5.1拉普拉斯变换例3双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当>时，其收敛域为–2Re[s]=<–3–

7、3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。5.1拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换简记为F(s)=£[f(t)]f(t)=£-1[F(s)]或f(t)←→F(s)5.1拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换1、(t)←→1，’(t)←→s>-∞2、(t)或1←→1/s，>03、指数函数es0t←→>Re[s0]cos0t=(