信号与系统教案第3章

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1、第三章连续系统的频域分析3.1周期信号的傅里叶级数3.2非周期信号的频谱——傅里叶变换3.3傅里叶变换的性质3.4周期信号的傅里叶变换3.5LTI系统的频域分析3.6取样定理第4-1页■3.1周期信号的傅里叶级数一、三角函数形式TT22a2f(t)cos(nt)dtb2f(t)sin(nt)dtnTnTTT22第4-2页■将上式同频率项合并，可写为A0f(t)Ancos(ntn)2n1b式中，arctannAa2b2nnnnan将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图

2、和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。第4-3页■例。已知信号表达式：27f(t)4cos(t)sin(t)13325f(t)4cos(t)sin(t)233判断信号是否为周期的。若是，试求基波频率。第4-4页■二、指数形式

3、Fn

4、~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。第4-5页■3.1傅里叶级数三、波形的对称性与谐波特性1.f(t)为偶函数——对称纵坐标TT22a2f(t)cos(nt)dtb2f(t)sin(nt)dtnTnTTT22bn=0，展开为余弦级数。2.f(t)为奇函

5、数——对称于原点an=0，展开为正弦级数。第4-6页■4.1傅里叶级数3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)f(t)此时其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a=a=…=b=b=…=00T/2Tt0224第4-7页■3.1傅里叶级数四、周期信号的功率——Parseval等式周期信号一般是功率信号，其平均功率为1T221222f(t)dt(a0)(anbn)

6、Fn

7、T02n1n第4-8页■1211costsint例：周期信号f(t)=243436试求该周期信号

8、的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。第4-9页■五、周期信号频谱的特点f(t)1举例：有一幅度为1，脉冲宽…度为的周期矩形脉冲，其周0-TTt期为T，如图所示。求频谱。22TF12f(t)ejntdt12ejntdtnTTT22nnjntsin()sin1e2222TjnTnTn22第4-10页■nnFSa()Sa(),n=0,±1，±2，…nT2TTFn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4τ画图。零点为n所以n2m，m为

9、整数。m21Fn42024ω特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。第4-11页■3.2傅里叶变换3.2非周期信号的频谱—傅里叶变换一、傅里叶变换jtF(j)f(t)edt傅里叶变换式1jt傅里叶反变换式f(t)F(j)ed2第4-12页■3.2傅里叶变换也可简记为F(jω)=F[f(t)]f(t)=F–1[F(jω)]或f(t)←→F(jω)F(jω)一般是复函数，写为F(jω)=

10、F(jω)

11、ej(ω)=R(ω)+jX(ω)函数

12、f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:f(t)dt用下列关系还可方便计算一些积分1F(0)f(t)dtf(0)F(j)d2第4-13页■3.2傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换f(t)11.单边指数函数f(t)=e–tε(t)，>0实数0ttjt1(j)t1F(j)eedte00jjf(t)2.双边指数函数f(t)=e–t,>010t0tjttjt112F(j)eedteedt0jj22第4-14页■3.2

13、傅里叶变换3.门函数(矩形脉冲)1,t1gτ(t)g(t)20,t2jj/2e2e20tjtF(j)edt22/2j2sin()2Sa()24.冲激函数(t)、´(t)jt(t)(t)edt1jtdjt'(t)'(t)edtejt0dt第4-15页■3.2傅里叶变换5.常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。12()2sgn(t)j111u(t)sgn(t

14、)()22j第4-16页■例。求f(t)的傅里叶变换。第4-17页■3.3傅里叶