2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.1.4数乘向量教案（含解析）新人教B版必修4

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1、2.1.4　数乘向量学习目标核心素养1．掌握数乘向量的定义并理解其几何意义．(重点)2．理解数乘向量的运算律．(重点)3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)1．通过学习数乘向量的定义及其运算律，培养学生的直观想象和逻辑推理素养．2．借助向量线性运算及其应用，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.1．数乘向量(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ00.(2)几何

8、意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．(3)运算律：设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．2．向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．思考：数乘向量与实数的乘法有什么区别？[提示]　(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a

9、，λ－a是无法运算的．1．下列各式中不表示向量的是(　　)A．0·aB．a＋3bC．

10、3a

11、D．e(x，y∈R，且x≠y)C　[向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有

12、3a

13、不是向量．]2．(2a－b)－(2a＋b)等于(　　)A．a－2b　　　　B．－2bC．0D．b－aB　[原式＝2a－2a－b－b＝－2b.]3．若a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，则2a－3b＝________.－e1＋10e2　[2a－3b＝2(e1＋2e2)－3(e1－2e2)＝2e1＋4e2－3e1＋6e2＝－e1＋10e2.]数乘向量的概念【例1】　(

14、1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________．(2)若平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则＝________.(3)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3.①用表示；②用表示.[思路探究]　根据数乘向量的定义运算求解．(1)x>　(2)2　[(1)由定义可知，2x－1>0，即x>.(2)因为＝＋，所以－＝＋－，即＝，所以

15、

16、＝

17、

18、，　①同理可得

19、

20、＝

21、

22、，　②①÷②得＝2.](3)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3

23、BC.①如图b，向量与方向相同，所以＝2；②如图c，向量与方向相反，所以＝－3.对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：λ>0时，λa与a同向，模是

24、a

25、的λ倍；λ<0时，λa与a反向，模是

26、a

27、的－λ倍；λ＝0时，λa＝0.注意：当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.1．设a是非零向量，λ是非零实数，判断下列说法是否正确．(1)a与λa的方向相反；(2)

28、－λa

29、＝a；(3)a与λ2a方向相同；(4)

30、－2λa

31、＝2

32、λ

33、

34、a

35、.[解]　由已知可得(1)若λ<0，则a与－λa的方向相同，故(1)错误；(2)实数与

36、向量不能比较大小，故(2)错误；(3)a与λ2a方向相同，故(3)正确；(4)

37、－2λa

38、＝2

39、λ

40、

41、a

42、正确.向量的线性运算【例2】　(1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________.(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.[思路探究]　(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简；(2)可类比解方程方法求解．(1)－a＋5b－2c　(2)0　[(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.(2)因为(x－a)－

43、(b－x)＝x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即：x＝0.]向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．2．化简：的结果是(　　)A．2a－b　　　　B．2b－aC．b－aD．a－bB　[原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(

44、6b－3a)＝2b－a.]向量的线性运算在平面几何中的应用[探究问题]1．怎样理解λa的几何意义？[提示]　λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的

45、λ

46、倍．2．如何用已知向量表示所求向量？[提示]　在向量的线