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《高中数学人教A版选修4-1学案：第2讲4弦切角的性质含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、四弦切角的性质学习目标导航I1.掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题.（重点）2.体会分类思想，运动变化思想和化归思想.（难点）阶段1‘认知预习质疑知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理弦切角定理阅读教材P33〜P34,完成下列问题.1.弦切角顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆她的角叫做弦切角.2.弦切角定理（1）文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.（2）图形语言叙述：如图2-4-1,与OO切于A点，则ZBAC=ZD.°微体验°1.P在夕卜，切OO于C,A4B交OO于A,B,贝”)A.ZMCB=ZBB・ZPAC=ZPC・Z
2、PCA=ZBD・ZPAC=ZBCA【解析】由弦切角定理知ZPCA=ZB.【答案】C1.如图2-4-2所示，AW与相切于点M,Q和P是00上两点，ZPQM=70°,则ZNMP等于（）QA.20°B.70°C.110°D.160°【解析】根据弦切角定理：ZNMP=ZPQM=70。.【答案】B［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑：疑问2：解惑：疑问3：阶段2解惑：介作探究通关（分组讨论疑难细究）利用弦切角定理解决与角有关的问题■［小组合作型］»例［1如图2-4-3,是半圆O的直径，C是圆周上一点（异于
3、A,B）,过C作圆O的切线过A作直线/的垂线AD,垂足为D,4D交半圆于点求证：CB=CE.A0B图2-4-3【精彩点拨】解答本题的关键是运用弦切角定理与圆周角定理的有关知识，进行角度的等量替换.【自主解答】连接AC,BE,在DC延长线上取一点F,因为AB是半圆0的直径，C为圆周上一点，所以ZACB=90°,即ZBCF+ZACD=90。.又因为AD丄所以ZDAC+ZACD=90°,所以ZBCF=ZDAC.又因为直线/是圆0的切线，所以ZCEB=ZBCF,又ZDAC=ZCBE,所以ZCBE=ZCEB,:.CB=CE,则ZCEB=ZDAC,由圆
4、周角定理知ZDAC=ZCBE,:.ZCBE=ZCEB,:・CB=CE.1.把证明线段相等转化为证明角的相等是弦切角定理应用的常见题目.2.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角.［再练一题］1.如图2-4-4,已知A3是00的直径，直线CD与OO相切于点C,过A作AD丄CD,D为垂足.图2-4-4(1)求证：ZDAC=ZBAC；4(2)若AC=8,cosZB4C=§,求(DO的直径.【解】⑴证明：连接BC,0C,因为AB是0
5、O的直径，所以ZACB=90°,所以ZB+ZBAC=90°.因为直线CD与00相切于点C,所以ZACD=ZB,ZOCD=90°.因为AD丄CD,所以ZDAC+ZACD=90°.所以ZDAC=ZBAC.4AC4(2)因为cosZBAC=§,所以因为AC=8f所以AB=10,卜例故00的直径为10.利用弦切角定理证明比例式或乘积式■如图2-4-5,PMPB是00的切线，点C在届上，CD丄AB,CE丄B4,CF丄PB,垂足分别为D,E,F,求证：CD2=CECF.【导学号：07370042】图2-4-5【精彩点拨】连接CA,CB,ZCAP=ZCB
6、A,ZCBP=ZCABRtAG4E^RtACBPRtACBF^RtACAD【自主解答】连接CA,CB.VB4,PB是(DO的切线.・•・ZCAP=ZCBA,ZCBP=ZCAB.又CD丄AB,CE丄E4,CF丄PB,ARtACAE^RtACBZ),RtACBF^RtAGAD,・CA_CE^CB=CDfCB_CFCA=~CD^•CE_CD••CD—CF'即CLr=CECF.名师膻J1.解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡.2.弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关
7、系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理.3.弦切角定理有时还需与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现.［再练一题］1.如图2-4-6,已知A3是的直径，AB=AC,BC交00于点D,DE丄AC,E为垂足.⑴求证：ZADE=ZB；(2)过点0作OF〃/1D与ED的延长线相交于点F,求证：FDDA=FODE.【证明】⑴连接OD,因为OA=ODf所以ZOAD=ZODA.因为A3是的直径，所以ZADB=90。，即AD丄BC.又因为AB=AC,所以AD平分ZB4C,即
8、ZOAD=ZCAD,所以ZODA=ZDAE=ZOAD.因为ZADE+ZDAE=90°,所以ZADE+ZOD4=90。，即ZODE=90。,OD丄EF.因为OD是OO的半径，所以E
