2017-2018学年高中数学人教a版选修4-1学案创新应用第二讲 四 弦切角的性质含解析

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1、四弦切角的性质[对应学生用书P28]弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.[说明]　弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．[对应学生用书P29]弦切角定理[例1]　(2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.[思路点拨]　利用弦切角定理．[

2、证明]　(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB.8故＝，即BC2＝BE·CD.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．1．如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________.解析：连接BC，∵AB为

3、⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.又∵EF与⊙O相切于点C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°.答案：34°2.如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.证明：(1)∵CD切⊙O于M点，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.∴∠A＝∠B，故AM＝MB.(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B，∴∠CM

4、A＝∠A.∴AB∥CD.3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.(1)求证：AD⊥CD；(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．解：(1)证明：如图，连接BC.8∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA＝∠B.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∴∠ADC＝∠ACB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝，∴AB＝

5、.运用弦切角定理证明比例式或乘积式[例2]　如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2＝CE·CF.[思路点拨]　→→→[证明]　连接CA、CB.∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴＝，＝，∴＝，即CD2＝CE·CF.8证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条

6、件，有时需要添加辅助线创造条件．4．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求证：AC2＝AE·AB.证明：连接BC.⇒△ACE∽△ABC⇒＝⇒AC2＝AB·AE.5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF，EF.(1)求证：EF∥BC；(2)求证：DF2＝AF·BE.证明：(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠

7、EFD＝∠CDF.∴EF∥BC.(2)连接DE，∵⊙O切BC于D，∴∠BAD＝∠BDE.由(1)可得∠BDE＝∠FAD，又∵⊙O内接四边形AEDF，∴∠BED＝∠DFA.∴△BED∽△DFA.∴＝.又∵∠BAD＝∠CAD，∴DE＝DF.∴DF2＝AF·BE.8[对应学生用书P30]一、选择题1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则(　　)A．∠MCB＝∠B　　　　　B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠BD．∠PAC＝∠BCA解析：由弦切角定理知∠PCA＝∠B.答案：C2．如图，△AB

8、C内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于(　　)A．14°　　　　　　　B．38°C．52°D．76°解析：∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝∠BOC＝38°.答案：B3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)A．2B．3C．2D．4解析：连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝