广义积分敛散性分析_唐廷载

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1、广义积分敛散性分析_唐廷载广义积分效散性分析定广义积分的敛散性.2o基木定理定理1设函数厂（劝在（a,穷小量，则・_、J卜。、二厂~、1、，、，队二个田，非只、迁块，习人一'个忆了口作1阴儿）当，（・）是阶数不低于久（’>1）的无穷。・量或恒为零时，广义积分I于一“・,d/收敛，11）当f（x）是阶数不高于入（0<入簇1）的无穷小量或不是无穷小量（包括常量零在内）时，广义积分r“，闭dx证明i）设当x”+co时，发散。厂（x）是阶数不低丁•以入>1）的无穷小量—或恒为零，则limX,十闰厂（x）,1、；、一少X=limxf（x）0《l<+oo又':厂（x

2、））0（a成x〈十co）,P二入〉1I）一“•，‘X收敛・II）设当x—。+二时，厂（x）是阶数不超过入（0〈入续1）的无穷小量或不是无穷小量，则11价f匆=limxf(x)=l,0<1镇+co,1一X了吸、十J定理2f(x)妻0(a崔x<+co),P二入成1,厂(x)dx发散.设函数f(x)在(a,石)上非负、连续,xb为厂(x)的奇点，当x、b—0时，把牛当作1阶无穷大量，则UseX)当，(・)是阶数不高于。(o<,〈1)的无穷大量时,J一义积分I；,(X)dX收敛，11)当厂(X)是阶数不低于;(;)1)的无穷大量时，广义积分丁'八X)d/发散・证

3、明i)设当x*乙一0时，厂(x)是阶数不高于以(K召〈1)的无穷大量，则lim忿叶手一0=lim仕一x)"f(x)=l,0成IX+co,x、五一0又厂(x))0(a(x<乙)，p二群〈1,If(x)dx收敛.广义积分敛散性分析唐拜载1。问题的提出在(1)第331—332页和第338页上,分别给出了两个极限形式的比较判别法:1、设在(a,+co)±厂(x)》0、并且连续:.(1)如果limx”f(x)二1,其中0砍I<+co,P>1,则I)”，(x)dx收敛;(1)如果1imx广(x)二1,其中0<1(+的,P簇1,十I斗侧；贝。丁。，(X,dX发散・五、

4、设了(x)在(a,b)±连续，且厂(x)》0,乙为厂(x)的奇点:⑴如果lim(右一x)'、厂(x)=l,其中0簇l<+co,P<王,贝。丁、，(X,d/收敛;(2)如果liUI(乙一、)''f(x)=l,其中0<1簇+co,P》1贝。丁，(X)dX发散・由于上述判别法在判定许多广义积分的敛散性时比较方便,所以常讯被人们首先使用。但在判定一个具体的广义积分的敛散性时，由于事先并不知道该广义积分是收敛的还是发散的，数P的选取就带冇一定的盲目性，常常出现不是把P选大了就是把P选小了，因而不能判定的情况.究其原因，就是没有对被积函数厂(x)在x”+co或X、b

5、—0时的数量级进行必要的估计、分析，或者不一明确厂(x)的数量级同广义积分敛散性的关系.本文将揭示广义积分敛散性同被积函数的数量级Z间的关系,研究一些常见初等函数在Xo十co或x—)b—0或xS时的数量级，从而根据被积函数的数量级玄接判定广又积分的敛散性,或者根据被积函数的数量级使用极限形式的比较判别法，准确地判广义积分效散性分析刁、扩0——曰.二一侧丹一令”•一、孑、J了性、一工夕iv)若对任意M>0,1im,则称尹(x)是无穷阶无穷大.为便宁查找和应用，现将一些常见初等函数在X,+co、X,0+等极限过程中的数量级列表子后.表1常用初等函数的数量级、

6、s一_Xee》十。Ox,0+其它a>0a阶无穷大a阶无穷小（a笋0）a>0>一Q阶无穷小一a阶无穷大aox"+气x帅一1+,,+abox爪+bix爪一1+,,+b:>二｝:一m阶无穷大〉j（。。今。，乙。祷。，n、m是自然数）（1‘，挤分别为分于、分母屮系数不为0的瑕低次项的次数）：=；nl以李为极限！口。犷一j阶无穷小以奇为极限舔1?一阶无穷小a>l（a>0,a今l）a>l无穷阶无穷人无穷阶无穷小'〈钊i一'阶无穷人ax—1是1阶无穷小1—T是1阶无穷小loga劣无穷小阶无穷大!无穷小阶无穷大x*l时（a>0,a铸1）介于一1和1之间的有界变量}1阶无

7、穷小!'叶晋时51nXl阶无穷小1一5inx是2阶无穷小COSX介于一1和1之间的有界变量1一eosx是2阶无穷小'叶晋时1阶无穷小tgXl阶无穷小'叶号时1阶无穷大南充师院学报1985年续表1arCSlUX阶无穷小xT时号一ar“s'nx是告阶无穷小x”1时arCCOSX号一a,“““sx是1阶无穷小雾阶无穷小石arctgx一a'c'gx是1阶无穷小1阶无穷小Shx无穷阶无穷大1阶无穷小ehx无穷阶无穷人chx一1是2阶无穷小thxl一thx是无穷阶无穷小阶无穷小sh一lx无穷小阶无穷人阶无穷小早}1{}X、1+0时小穷无阶1一2eh—lx无穷小阶无穷

8、人th—lx阶无穷小劣”1一0时无穷小阶无穷,,{1人这里说明一下，此表上的各函