浅谈数学中的直觉

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1、浅谈数学中的直觉王冉海内容摘要：“没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有垃觉，他们永远也不会有应用数学的能力。”这是法国著名科学家庞加莱指出的。由此，在注亜:逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想彖力的培养，尤其是直觉思维能力。在二十一世纪信息高速发展的时代，培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。关键词：思维能力数学直觉数学直觉，简单地说，是具有意识的人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断，也可以说是领悟和洞察。它是一瞬间

2、的思维火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化,但是它却清晰的触及到事物的“本质”。在数学中，确实存在一些“只可意会，不可言传”的东西，这就需要学生具有高度的抽象思维去加以捕捉，深刻理解，但仅仅有这些，显然是不够的，有时,数学直觉也会带来意想不到的效果，但这种直觉不是与天而来的，而是靠学生勤于思考，热衷思考形成的。正是因为有了这种直觉思维，才产生了许多丰富的创新，深奥的探索。从培养直觉思维的必要性来看，直觉思维有以下三个显著特点：1、简约性直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的

3、假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。2、创造性曾有人说过：中国的教育制度不改革，永远也培养不出获得“诺贝尔奖金”的科学家，因为获得“诺贝尔奖金的科学家都是“立体型”的科学家，而现行的中国教育制度培养的只是“平面型”的科学家。可见，创造性是相当重要的。3、自信心居里夫人有句名言：“我们应该有恒心，尤其要有自信心。”直觉发现伴随着很强的“自信心”。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的钻研动力，从而更加相信自己的能力。数学内容的抽象性和逻辑的严谨性往往

4、掩盖了数学活动中直觉思维的存在。片面强调数学解题屮逻辑方法的重大价值，忽视学生的想象力、创造力培养的倾向依然存在。事实上，直觉思维在数学教学屮的重要作用是不可否认的。数学屮的直觉归根结底是由思维者的审美情感所支配的，数学中最高层次的直觉，就是由美感产生的直觉。正如著名的科学史专家库恩所指出的：“在新理论的建立屮，美学考虑的重要性有时是决定性的。”例1:由美感产生的直觉导致了射影几何的建立。在欧氏平面几何中，点和直线的关系并不是完全对称的，因为过两点总可以作一条直线，而两条直线并不总有交点。为了解决上述孑盾，法国数学家笛沙格提出如下设想：同圆一样，直线也是-•种

5、封闭图形，其两端点的连接点在无穷远外。因而在直线上就有一个无穷远点。正是从这个假想出发，笛沙格初步建立了射影几何的理论。数学美的因素对学生思维活动的影响是潜在的、不被觉察的，但这种审美悄感却是驱动学生直觉思维的一股强人的力量。例2：已知关于X的方程ax?+2(2a-l)x+4a—7=0,问a为何值时，方程至少有一个整数根？分析：所给方程是一个含参数a的二次方程，如果用求根公式解出x,再由a的值来讨论根的悄况，运算就较为复朵。但若注意到a的最高次数仅为一次，则可简单地把原方程看成关于a的方程，由此再讨论整数根x的存在就较为简便。例3：已知:sin4asin2b求

6、证:沁+沁=1cos2qsin2acos4a+cos2b分析：这是一道常见的数学题，通常的证明均较繁琐。但如能“跳出”三角函数或恒等变形的圈子，用代数变换，则证明很简捷。如设sin2a=x,sin2b=yx,y都属于(0,1)代人己知条件可得兰+口广=1,整理x=yo再改写上式y1一y得21+=1代入所设即得要证的结论。X1-x在数学学习过程中，光是靠直觉不行，有时，宜觉也会导致谬误，缺少反思。例4：这组四个数是按一定规律排列的，把具中多余的一个数找出来：3,9,18,27,81分析：出于这道题是在“数列”这一章节中，学生凭直觉可能会认为此题是按等比数列设计的

7、，所以答案就是18。也正是由于数学直觉能带给学生极强的自我效能感，极易导致解题后缺少反思。也正是由于缺少反思，使得学生不会对自C原有的认识进行重新评价和调控，题目中原有的解题思想可能得不到彻底的贯彻。就象上一道题，其实还可以有：1)按是否为合数分类，应选3；1)按是否可以写成不超过10的3个整数之和分类，应选81；(3=0+1+2,9=2+3+4,18=5+6+7,27=8+9+10,而81>10+10+10）3）按数码和是否为9分类，应选3。在生活中，有这样的事情：分别掷两枚硬币，硬币甲出现正面与否和硬币乙岀现正面与否，相互之间有什么影响呢？不用计算也能肯定

8、它们是互相独立的！应该承认这些议论是颇