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《浅谈矩阵对角化及其应用（米亚兄）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅谈矩阵对角化及其应用写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一肓到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。众所周知：n维向量空间V中的线性变换/可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而/可对角化的充要条件是力关于V的矩阵A可对角化。内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后
2、讨论其在特征值、特征向量方而的应用。关键词：矩阵对角化特征多项式特征值特征向量导言：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基木方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。1、矩阵可对角化的条件：1）设》是n维线性空间的一个线性变换，》的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是力有n个线性无关的特征向量。2）方块矩阵A被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵戶使
3、得P~lAP是对角矩阵。3）设A是数域F上的n阶矩阵，如果存在F上n阶可逆矩阵T,使得T-1AT=a,那么，就说矩阵A是可以对角化的。可对角化矩阵的基本性质和结论：1）数域F上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。2）数域F±n阶矩阵A在F内有n个不同的特征根，那么A可以对角化。3)屈于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。4)如果在n维空间V屮，线性变换》的特征多项式在数域P中有n个不同的根，即力有n个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形的。5)任一n阶实对称矩阵都可以对角化
4、。6)对任一n阶实对称矩阵A,必存在n阶正交矩阵T使得T-AT二di“g(&,人，・・・，人)，其中(人，人，…,人为A的特征根)。5)实对称矩阵/的任一个特征值都是实数。6)实对称矩阵虫对应于不同特征值的实特征向量是正交的。2、矩阵对角化的方法及实例解析：(以实对称矩阵为例)实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵。设A是一个n阶实对称矩阵，a,B是任意的n维实向量，那么(Aa,13)=(a,A3)设A是一个n阶实对称矩阵，T=[X1X2...X」是一个正
5、交矩阵使得A■■则人，人，…人是A的所有特征值，而X】，X2,…X”是A的n个相互止交的单位特征向量。2-1-11-1-11-1,求正交矩阵T,使得T~lAT为对角阵。-I2-1A-21A—2-11A—2-1解:由AE—A--1]=a-i)3a-5)久一2得/的特征值为人二入二入二1（三重特征值）,人二5.当入二1时,由（入E-A）二0,即:-111-1兀101-1-11兀201-1-11兀30-111-1_X4._011得基础解系为©二1000a、=-1000-1把它正交化,得0］二Q］二110R-a
6、_〈。2，0
7、)n_丄2_丄211313130_0_-16再将其单位化得:241200“2二V66_V660V36V36返21-131〃4二当人二5时，由（人E-A）二0即:1—1-11■1■-1得基础解系为勺二，将其单位化得:—1则〃1，3,〃4是人的一组单位正交的特征向量，令1-21-2丄2--1-2V33V3_673_6V3_2V2-2V2-2oO一------T1则T是一个正交矩阵。且T」AT1]5,求正交矩阵T,使得T"A1为对角阵。2-4解：由2E-A二-2-2A-4-2一=(A-2)2(A-
8、8)-2-2兄一4得的特征值为人二人二2（二重特征值）,入书。=_-2-2-2兀10当人二人二2时,由（人E-A）X二0,即：-2-2-2兀2二0-2-2-2兀30得基础解系为二1,«2=■-T001把它正交化得:_丄2_丄2-2-2_—■_0_4-2兀2—0-24兀30当入二8时，由（z^E-A）X二0,即：-2-21■矿2■/——V66再将其单位化得：小二422，“2二_區60衙34■fV3得基础解系为°.二51,将其单位化得：弘二商31商3则"1，“2，“3是乂的一组单位63拆馆63V63阴32正交
9、的特征向量，令T二［〃］“2祠二¥0「2_则T是一个正交矩阵，RT"AT二2_8_3、可对角化矩阵的应用可对角化矩阵作为一类特殊的矩阵，在理论上和应用上都有着十分重要的意义，例如其在求特征值、特征向量方面有着重要的应用，可以简化计算。1）求方阵的高次幕一般说，求矩阵的高次幕比较困难，但若矩阵A能相似于对角矩阵G4可以对角化），即若存在可逆矩阵E使得P'1AP=Bf^中B是对角阵.则A二PBP~',卅=（PBP-'）“=PBP~
