数列经典例题剖析[2]

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1、二、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1.（山东省滨州市2007年高三笫三次复习质量检测）已知等比数列｛色｝中卫2，角，印分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且6=64,公比(I)求％(II)设仇=陀2an,求数列{仇。的前兀项和T“・解析：(I)依题意+3(吗_°4)，即加4_3。2+。2=°/.2d”一3。”+a}q=02q2—3g+l=0=>q=1或q=—2,1•・•qH1-故^=64x(1)^^=log2[64x(lr-,]=log227-/?=7-n(II)2h<7H>7.・.％<7时b、=6,7；=^^2=2n当〃>7时,

2、仇

3、=1,7；=T7+(1+—

4、?(—7)=21+(n-6Xn-7)呼2)(“―6丫—7)+2](”>7)点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。例题2.（2007年湖南省长郡中学第二次刀考）设数列仏」的前n项和为Sm若匕」是首项为1,各项均为正数且公比为q的等比数列.（1）求数列的通项公式°”；（2）试比较勺+勺+2与2%如"+）的大小，并证明你的结论.解析：（I）・・・鞭”｝是各项均为正数的等比数列..・.S严广*(今>0)当n=l时,al=l,当"、加卫“=S”-S”_]=(g-l)g"1a=fl(«=1)・an=[(q-)qn-2(n>2)••o(Il)当n=l时，3]a+

5、^-2a2=Sx+Sx(q-)q-2Sx(q-)=[(q-—)2+-]>0..Q+f/>心/°••I'2.•当斤n2时,a”+a”2一2a”+i=Sx(q-)qn~2+S】(彳-l)g"-2Sx(q-V}qn~{=(^-l)3^n_2・.・q>0,g"2>().①当q=l时，(q一1)'=°，•:an+d”+2=2a“+i・②当ovqvi时,(g-1)‘vo,•:an+碍+2v2g”+

6、.③当q>1时，(q一i)‘综上可知：当n=l吋，①+$>25当n>2时，若g=1,则a”+a,J+2=2art+I；若0<（72%.点评：木

7、题考杏了等比数列的基木知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和例题3.（2007年5刀湖北省

8、——校）.已知数列⑺“｝中各项为:11……122……2、/、>12、1122、111222、……、"个“个……（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn.解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。an=-(10"-1)・10”+?・(10"-1)答案:(1)99=*(10"—1)•(10“+2)=(^!)•-+1)10"-1记：A=333……3则人=—为整数°"=A(A+1),得证•••^4102n410，'-i=—(

9、102/,+2+11-10/,+1-198n-210)891点评：木题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例题4.(云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测)已知S”是数列｛"”｝的前n项和，并且4=1,对任意正整数m九二仇+2；设乞二％-2色(応1,2,3,…)(I)证明数列少"｝是等比数列，并求｛仇｝的通项公式；解析：(I)•••九=他+2•:S”=4%+2(n>2),两式相减r曲=他一4%(空2),•••%】=-an_,)(n>2),.bn=an+[-2ant•••久“二〜+2-2=4(an+1-att)-2a

10、n^ybn^=2(an+l-2aJ=2bfl(ne｛'｝是以2为公比的等比数列,bx=a2—2%,而绚+色=4%+2,.*.a2=3ax+2=5,勺=5-2=3,/.bn=3・2fwN*)l°g2Si•log?C“+2log22"•log?2,,+1n{n+1)•••—扣（土）+（匕）+・・・+（沽）亠点评：木题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列｛%｝的通项5,第二问求和用到裂项的办法求和O考点三：数列与不等式的联系例题5.（2007年5月莆田四中）已知&为锐角，且tan6Z=72-l,7〃1/W=Xtan2a+x-sin（2«+—）//）=-,cin+x=f（an）函

11、数4,数列｛an｝的首项2（1）求函数/（X）的表达式；111*1<++・・・+<2（n>2,neN）⑶求证:1+d]1+1+cin解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利川了函数的性质，笫（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。tan2a=答案：解:2tana1-tan2a2（近-1）1-（血-I）?=1c712a=—•4••sin（2a+—）•4••・]■f（x）=x2+x2