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1、数学：数列创新题及解题策略邓清林数列是高中数学很重要的内容z—,是高考的热点和重点，数列中蕴含着丰富的数学思想.近儿年来乂涌现出许多的创新题，其屮数列创新题就是髙考试题屮最为亮丽的风景线之一.这类问题求解方法灵活，综合能力强，思维含量比较高.卜而举儿例谈谈有关数列创新题的基本题型及解题策略.一、创新定义型解题策略:回归定义，求本溯源例1、（04北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做此数列的公和；已知数列｛如｝是等和数列,且屮2,公利为5,那么仏的值为；这个数列的前n项和S”的计算公式为o解：由题可得an
2、+an+]=5,a”+]+an+2=5，两式相减得an=an+2・・・数列｛%｝是周期为2的周期数列，又屮2,得妒3,所以“J"汹奇数）・・,=3”[Un为偶数）当料为偶数时，s=^-5=—；当川为奇数时，s=巴二1.5+2=心n22"22评注：本题表而看冇点繁琐，但只要解题时将阅读信息与所学的定义相结合，则一目了然.二、活用性质型解题策略:巧用性质，快速求解例2、（01上海春季）若数列｛给｝前8项的值各异，且对任意nwN*都成立，则下列数列中口J取遍｛诃的前8项值的数列为（）A・｛a2k+｝B.｛角如｝C.｛%+i｝D.｛%+i｝解：由数列｛给｝前8项的值各异，且4林=%对任意
3、ne/V*都成立得数列是周期为8的周期数列，问题转化为2k+l,3k+l,4k+l,6k+l中k=l,2,3,…代入被8除后余数能取到0,12,3,4,5,6,7即为答案,检验得3k+l可以,故｛皎+i｝可取遍｛aj的前8项值,答案为B.评注：若在给定数列｛务｝中有a”片伙wAQ出现，往往需考虑数列周期.Hk就是周期.xv例3、（04湖南）设F是椭圆一+二=1的右焦点，冃椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=l,762,3,…），®IFPJ,IFP2I,IFP3I,…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为.解析：由椭圆第二定义知l±iL±=e^P.F=ePP,>这些线段长度
4、的最小XI唧丨，11值为右焦点到右顶点的距离即
5、P,F
6、=V7-1,最大值为右焦点到左顶点的距离即1^1=77+1,故若公差d>0,则V7+l="_l+S_l)d,・・・n同理若公差dvO,则可求得—丄7、9-“SV19,几WN）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛仇｝中，若%=1,则有等式成立。解：根据an+[+a[9_n=an+2+a18_rt=••-=2%。=0和乞+】-也=bn+2・b[6_n=--=b92答案：b｛b2…仇=byb2--bi7_n（n<17,ngN+）评注：本题山已知条件的特征从形式和结构上対比猜想不难挖掘问题的突破II。四、阅读理解型解题策略：认真读题，巧妙求解例5、（05北京）己知n次多项式Pn（x）=aoxn+axxn~x+•••+an_xx+an,如果在一"种算法中，计算兀°火（k=2,3,4,...»n）的值需要k—1次乘法，计算/（兀。）的值
8、共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算代（心）的值共需要次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：人（兀）=佈，7
9、（兀）="（兀）+色+1（k=（），1，2,…,n-1）.利用该算法，计算A（x°）的值共需要6次运算，计算代（兀°）的值共需要—次运算.解：几（兀0）=。0尢0"+。1尤（）"7+…+。“一1兀0+an共需斤次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为心2-1,…,1,0。故总运算次数为卄卄（—1）+…+1»+也+1）=血辺。22第二种算法中，/^（x0）=a0不需要运算，片（兀°）=X。垃（兀0）+山，需2次运算，P2（x0）=x（出（兀（））+°2需2+2次
10、运算，依次往下，代（兀（））需2宛次运算。评注：通过阅读，将乍看陌牛的问题熟悉化，然后找到解决问题的方法五、数阵、数表型解题策略：观察发现，巧妙解题例5、（07湖南）将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，・・・，第n次全行的数都为1的是第行：第61行中1的个数是第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011解：设全行的数都为1的行的行数构成
