江志会论文修改3

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1、嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：有理数域上的多项式的因式分解姓名：江志会学号：101010100学院：数学学院专业：数学与应用数学指导老师：许鸿儒申请学位：学士学位嘉应学院教务处制在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重耍的地位。判断一元多项式是否能I大I式分解是不容易的。本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。关键词：有理数域，可约，因式分解AbstractInpolynomial,theresearchonrationalpoly

2、nomialfactorizationhasanextremelyimportantposition.Determinewhetherapolynomialcanbefactoringornotisnoteasy.Accordingtothetheoryofirreduciblepolynomialsandrationalroots,weexplorepolynomialfactorizationmethod,andmakesometheinduction,consolidationandsupplements.Keywords：ra

3、tionalnumberfield,reducible,factorization目录1有理数域上的多项式基本内容11.1多项式因式分解的基木概念11.2本原多项式21.3不可约多项式的艾森斯坦判别法52多项式的有理根及因式分解72.1多项式在有理数域上的性质72.2多项式有理根的判定82.3多项式有理根的求法及因式分解102.4因式分解的特殊解法12参考文献错误！未定义书签。有理数域上的多项式基本内容in1.1多项式因式分解的基本概念在算术屮，我们已掌握了整数分解质因数的概念，如:15=3x5；在此基础上，通过类比，我们得到因式分解

4、的一般定义：定义1・1・1把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。对于一个多项式能否因式分解，不能孤立的来考虑，在不同的数域内有不同的结论。例1分解/一4的因式在有理数域屮，它的分解式是：(厂+2)(厂-2),分解到这里就不能再继续分解，不然的话，分解式的系数将超出有理数的范围。在实数域中，它的分解式是：(x2+2)(x+V2)(x-V2)＞分解到这里，就不能再继续分解。在复数域中，它的分解式：(x+72)(x-72)(^+V2/)(x-V2z)o由此可见，对多项式的分

5、解，必须先明确系数的数域，再理解其不能再分的含义。所谓多项式在给定的数集内讨论，是指多项式屮的一切系数，以及自变量所取的值，都要属于这个数集。定义1.1.2给定F[X]的任何一个多项式/(x),对于F中的任何一个不为零的元素c。c是/W的因式。c/(x)也是/(x)的因式，我们把/(%)的这样的因式叫作它的平凡因式，任何一个零次多项式显然只有平凡因式。一个次数大于零的多项式可能只有平凡因式，也可能还有其它因式(非平凡因式或真因式)。例2(x)=2(x-l),g(x)=-3(x+2)(x4-3)2o由定义可以知道/(兀)只有平凡因式，g

6、(x)有非平凡因式I大I此，我们研究多项式的I大I式分解，只是从它能否表示成非平凡I大I式的积来考虑的。1.2本原多项式定义1・2・1若是一个整系数多项式/(力系数互素，那么/(力叫作一个本原多项式。引理1.2.1两个木原多项式的乘积仍是一个本原多项式。证设给了两个本原多项式/(x)=a。+d』+・・・+d,x‘--amxmg(x)=b(}+b}x-hjX1…+b»x"并且fMg(x)=Co+c/+…+Ci+jxi+j…+5+f如果fMg(x)不是本原多项式，那么一定存在一个索数p,它能整除所冇系数"，"…，••匕+”，由于.f(x

7、)和g(x)都是本原多项式，所以P不能整除.fd)的所有系数，也不能整除g⑴所冇系数。令％和bj各是/⑴和g⑴的第一个不能被P整除的系数。我们考察/(x)g(x)的系数Ci+j,们有C砒=aQbi+j+…+%巧+]+aibj+ai+lbM+…+ai+jbQ这等式的左端被p整除。根据选择①和巧的条件，所有系数％……仏以及巧―……b°都能被p整除，因而等式右端除％巧这一项外，其它每一项也都能被p整除。因此乘积①巧也必须被p整除。但p是一个素数，所以p必须整除勺或乞・这与假设矛盾。设/(兀)是有理数域上的一个多项式。若是/(兀)的系数不全是

8、整数，那么以/(兀)系数分母的一个公倍数c乘f(x),就得到一个整系数多项式cf(x)O显然，多项式/(兀)与＜/(兀)在冇理数域上同时可约或同时不可约。这样，在讨论冇理数域上多项式的可约性时，只需讨论整系数多项式在有理