关于凸函数的连续性的一些结果

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1、黄石理工学院学报JOURNALOFHUANGSH1INSTITUTEOETECHNOLOGY文章编号：1008-8245(2009)06-0036-03关于凸函数的连续性的一些结果毛琪莉(黄石理工学院数理学院，湖北黄石435003)摘要：凸函数是数学分析中的•类重要函数，而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重要的特征.文章从凸函数的定义出发•讨论了凸因数与连续的关系，得岀了连续西数不一定是凸函数，凸函数也不一定连续的结论，给出了判别连续凸函数的几个充要条件及连续凸函数的几条待殊性质.关键词：凸函数;连续;

2、性质中图分类号2174文献标识码:ASomeResultsAboutContinuityofConvexFunctionMAOQili(SchoolofMathematicsandPhysicstHuangshiInstituteofTechnologyHuangshiHubei435003)Abstract:Theconvexfunctionisveryimportantinmathematicalanalysisandthecontinuityistheelementaryandvitalfeature

3、ofthefunction.OntheBasisofthedefinitionoftheconvexfunction,thispaperdiscusssestherelationshipbetweenconvexfunctionsandthecontinuityandconcludesthatthecontinuousfunctionsarenotnecessarilytheconvexfunctions,andtheconvexfunctionsarenotnecessarilycontinuous・The

4、necessaryandsufficientconditionsarepresentedtojudgeacontinuousconvexfunctionandtheitsspecialnatureisintroduced・Keywords:convexfunction；continuity；nature0引言1凸函数与连续性凸函数是一类重要的函数.对函数凹凸性的研究，在数学各个领域中都有着广泛的应用.而函数的连续性，是函数性态的一项基本而又重要的特征.显然连续函数不一定为凸函数，凸函数是否一定连续？连续凸函

5、数有哪些等价条件？本文重点讨论函数的凸性与连续性的关系及连续凸函数的重要性质.定义设/(兀)为定义在区间/上的函数，若对I上任意两点X,及任意的入丘(0,1)总有/(AX)+(1-入)％2)W47*(衍)+(1-A)/(x2)(i)则称/(勿为/上的凸函数.定理1若/(戈)为区间/上的凸函数，贝”&)在区间/的任意一内点必然连续⑴.证明设[a,6]U/,取M=maxj/(a),1，又任一尤w[a,b]有％=入a+(l-入)6,(0W入W1),则由/(*)为区间/上的凸函数知x)WA/*(a)+(1一入)/*(

6、b)w入M+(1—A)Af=Af,(2)又%e[a,6]可写成%=+G则再由凸函数定义得r/a+6xz/1za+6、1za+6/(〒)=/(y(—+-0)收稿日期：2009-05-19作者简介:毛琪莉(1973—)，女.湖北汉川人■讲师■硕士。1a+b1a+b厶、cT/(_+0+T/(~-°则心）"（¥一心2/（号丄）・/（(3)（3）式与（1）式等价，由定理2即得.定理4/（兀）为区间/内的连续凸函数的充要条件V^tXx^x2€/：x）＜X＜x2总有/U）・/（衍）二/（巧）-A1）'X*X

7、(5)由（2）

8、式、（3）式知/（%）在［a,b］上有上界M及下界m,取人＞0使+为/U）在［a-A.6+A］上的下界与上界.设+Axe［at6］，令证明i己入二—~~—,贝!Jx=AX

9、+(1-A)y=x+Ax+IAxl则有ye[a-At6+h]fx+Ax=Ay+(l-A)x.由凸性知/(z+Ax)^V(r)+(1-A)/(x),即/(%+Ax)-/(兀)W入[/(y)-/(%)]W入(M-m)・衍.可得（5）o（l）・且同理可证⑵./（X）-/（«!）一/*（乃）-/（衍）一/（巧）-/（«）wW二x—Xjx2—x,x2

10、—x定理5/（%）为区间/内的连续凸函数的充要条件对/内任意三点力1、兀2、兀3，只要衍＜*2＜111X3，则恒有△=又入IAxlh+IAxl■故+△%)f（x）V違=（M-m）二H•定理1得证.注：区间/可能为开区间、闭区间等.若心）为区间/=［a,6］上的凸函数，则有/（%）在开区间（a,6）内连续，但在端点x=a或兀=6处未必右连续或左连续.例如，函数心）=『'畀t满11,1x1=1足（1）式