凸函数的性质和一些不等式的证明

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1、高等教育自学考试毕业论文论文题目：凸函数的性质和一些不等式的证明作者姓名：　　　　专业：数学（数学与信息科学方向）主考学校：兰州大学数学与统计学学院＿准考证号：4指导教师姓名职称：甘肃省高等教育自学考试办公室印制2012年3月4日1数学专业本科论文XX专业论文标题:凸函数的性质和一些不等式的证明论文标题:Propertiesofconvexfunctionsandproofsofsomeinequalities论文作者论文作者2目录内容摘要4一、凸函数51.凸函数的定义52.常见的凸函数64.凸函数的定理7二.凸函数在证

2、明不等式中的简单应用81．凸函数在几何平均值中的应用82．凸函数在Young不等式中的应用93.凸函数在Jensen不等式中的应用104.凸函数在三角不等式中的应用10注释11参考文献：113凸函数的性质和一些不等式的证明张泽内容摘要本文总结了凸函数的一些基本性质，还有凸函数在Jensen不等式、三角不等式中的应用，让我们了解凸函数的用途。并且用它的一些特殊的性质来解决我们实际生活中的实际问题。关键词凸函数；Jensen不等式；三角不等式、一、凸函数1.凸函数的定义一元二次函数的图像的特点是：曲线上任意两点间的弧线总在这

3、两点连线的下方。我们把具有这一种特性的曲线称为凸的由此，我们定义：设在上有定义，若曲线上任意两点间的弧线总位于连接该两点的直线之下，则称函数是凸函数.上面的定义只是简单的描述性定义，下面我们介绍关于凸函数的精确定义，以便于我们更好的利用它的性质。在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个等价定义：11定义1设在内连续，如果对内任意两点恒有那么称在内是凸函数.定义2设在内连续，如果对内任意两点，有则称在内是凸函数.y0X上图是凸函数的几何形2.常见的凸函数例1或,均为内的严格凸函数;例2均为内的严格凸函数.3.凸函数的性质性

4、质1设为凸函数，为常数，则是凸函数：若是凸函数，则仍是凸函数：若是增凸函数，也是凸函数，则复合函数也是凸函数.11性质2如果是上的凸函数，则在的任一闭合子区间上有确界.性质3如果是上的凸函数，则在内一定连续.4.凸函数的性质定理1是区间上的凸函数的充要条件是：对于满足的任意，有：（1）定理2若在区间上二阶可微，则在上是凸函数的充要条件是：f，x（2）定理3设f为区间I上的可导函数，则下列论述互相等价：1)f为I上的凸函数；2)为I上的增函数；3)对I上的任意两点，，有4)()()+（）（）.5.凸函数的不等式Jensen

5、不等式设函数f（x）定义在某一区间上的凸函数，则对于任意，成立,上面的不等式称为凸函数的琴森（Jensen）不等式。11例用琴森不等式证明.证明取凸函数f(x)=㏑x，则对于任意正实数，有㏑=lg.因为lgx在定义域区间上是增函数，所以.二.凸函数在证明不等式中的简单应用1．凸函数在几何平均值中的应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1讨论函数f（x）=arctanx的凸性区间.解由于，因而当

6、x时，；x时.从而在上f为凸函数.例1设，证明：11证明设，有，从而，函数在是严格凸函数，取有或即取同样方法，有于是，，有2．凸函数在Young不等式中的应用现在让我们来利用凸函数证明Young不等式。例2若且，求证：Young不等式11证明从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此，我们要对它进行一定的变形。不妨不等式两边同取自然对数，则有由此很容易找到合适的凸函数。考察函数，因为，由定理1知，在时为凸函数，因为有，所以于是　　即特别地，当时，此不等式就是前面例1的结果，即平均值不等式。3.Jense

7、n不等式的应用例3设，证明：证明取它是上的凸函数，由Jensen不等式，得11所以特别的：（1）如果在这个不等式中，令则得；（2）对于三角形的三个内角，有　　　　　　　4.凸函数在三角不等式中的应用凸函数在一些几何和三角函数不等式证明中的精巧妙用如下。例4设，证明：证明先将原不等式化为因为为上的凸函数，故当时，有令则而所以参考文献：[1]吴良森.数学分析（上册）,高等教育出版社,2001年.11[2]李长明.周焕山.初等数学研究.高等教育出版社,1995年.[3]高尚华.数学分析（下册）,高等教育出版社,2001年.[4

8、]克拉斯诺西尔斯基等著,《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）.科学出版社，1962年.[5]华东师范大学数学系.数学分析(第四版).高等教育出版社,2011年.[6]李长明,周焕山.初等数学研究.高等教育出版社,1995年.11