8.3+空间点、直线、平面之间的位置关系

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1、§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系要点梳理1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线.两点不共线一条基础知识自主学习2.直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类（2）异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).②范围：.平行相交任何锐角或直角3.直线与平面的位置

2、关系有、、三种情况.4.平面与平面的位置关系有、两种情况.5.平行公理平行于的两条直线互相平行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.平行相交在平面内平行相交同一条直线相等或互补基础自测1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分解析如图所示,三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.则α、β、γ把空间分成7部分.C2.直线a,b,c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为（）A.1B.3C.6D.0解

3、析以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个.B3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（）A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析如图所示，a∥b,c与d相交,a与d异面.D4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A.12对B.24对C.36对D.48对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线B5.下列命题中不正确的是.①没有公共点的两

4、条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.解析没有公共点的两直线平行或异面,故①错；命题②错,此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a,则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b,又c∥a,则a∥b，这与a,b异面矛盾，故cb;命题④也正确，若c与两异面直线a,b都相交，由公理3可知，a,c可能确定一个平面,b,c也可确定一个平面，这样,a,b,c共确定两

5、个平面.答案①②题型一平面的基本性质如图所示，空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.题型分类深度剖析(1)解∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴

6、AC∥GH.即AH∶HD=3∶1.（2）证明∵EF∥GH,且∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG,FG平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.（1）证明三线共点的依据是公理3.（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.知能迁移1如图所

7、示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BCAD,BEFA，G、H分别为FA、FD的中点.（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？（1）证明由已知FG=GA，FH=HD，可得GHAD.又BCAD,∴GHBC,∴四边形BCHG为平行四边形.（2）解方法一由BEAF，G为FA中点知，BEFG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由（1）知BGCH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面.方法二如图所示，延长FE，

8、DC分别与AB交于点M，M′，∵BEAF，∴B为MA中点.∵BCAD，∴B为M′A中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′），∴C、D、F、E四点共面.题型二异面直线的判定(12分)如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是