实变函数论课后答案第五章1

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1、实变函数论课后答案第五章1第无章第一节习题1.试就［0,上的Dirich函数D(x)和Rienmnn函数R(x)计算J£>(兀)心和jR(x)dx10,11L0JJ解：回忆DM=［蔦匕即DM=Xq(x)(0为左上全体有理数(0xeRQ之集合)回忆：唸(兀)可测oE为可测集和P129定理2:若E是/?"中测度有限的可测集，/(兀)是£*上的非负有界函数，则jf(x)clx=Jf(x)dx/(x)EE为E上的可测函数显然，Q可数，则mQ=0,QLJ测，龙q(x)LJ测，有界，从而Lebesgue可积由P134Th4(2)知O

2、dxjZQ(x)dx=J无Q(x)dx+JxQ{x)dx=Jdx+j(0,11[OJlnQLOJJn0c[0J]cQ[0AryQe=lm([0J]ne)+0m([0J]nCc)=1-0+04=0回忆Riemann函数R(x):/?:[O,1JR}1n—兀=—,加和n无大于啲公因子nmR(x)=i1x=00xg[0,1]-2在数学分析中我们知道，/?(兀)在有理点处不连续，而在所有无理点处连续，且在［0A］±Riemann可积，R(x)=0必于［0,1］上，故/?(力可测(P104定理3),且jR{x)dx=J/?(兀)心

3、+ohio,ij-eqffij0

4、%=0io,i

5、io,i]-(?

6、o,i]-Q2•证明定理l(iii)中的第一式证明：要证的是：若证<+00,/⑴,g⑴都是E上的非负有界函数，则Jf(x)dx>^f{x)dx^rJg(x)dx-EE-E下面证明之：V£>0,有下积分的定义，有E的两个划分口和2使%(/)>J%(g)>Jg{x)dx~-E乙-E厶此处％(/)，仏(g)分别是f关于U和g关于A的小和数，合并up而成E的一个更细密的划分

7、D,则当％c/+g)为/(兀)+能)关于D的小和数时J(于(劝+g(x))NA%(/+g)'SDf+SpgASgf+Spg质和P125引理1)由£的任意性，令etO,而得j(/(x)+g(x))6/v>jf{x)dx+jg{x)dx一-E-E3.补作定理5中f(x)dx=^的情形的详细证明E证明：令Em=E{x\x\coJEE僭VM>0，存在他=化(M)wN,当m>m[}时,2M

8、TEm则存在k使M8Jn—>ooEfnE„JEmlimf[/；,(x)h.6k8J"TOOJ"—>8JEmE协E（利用有限时的结论,Th5中已详证）证毕.由M的任意性知limffn{x)dx=-Ko=ff(x)dxZ/->CCJJEE4.证明：若.f(x)是£上的非负函数，jf(x)dx=O,则f(x)=0a.eE证明：令En=[x

9、)<1]m4-00+CO则E[x

10、f(x)>0]=(EJu(Fn)n=l?i=l/可测，故En,FnrE[xfM>0](刃=1,2,;加=1,2,)都是可测集,由P135Th4(2)和“⑴力=0,/(切非负知E0EExJ(.x)>0]E„En故mEtt=0,(n=1,2,);同理mFm=0,(m=1,2,)=jf(x)dx>jf(x)dx>jf(x)dx>n^dx=nmEn>0•KO4~00故mE[x

11、/(x)>0]<+工mF”,=0/j=1m=故从7*(兀)非负,E[x

12、/(x)=O]=E-E[xf(x)>0]，知

13、化)Q幺于E・证毕.5•证明：当证V+OO时，E上的非负函数的积分jf(x)dx<-HX)的充要条件是E+OO工2%E[x

14、/(x)n2*]v+oo*=0证明:令Ek=E[xf(x)>2k]9k=0X29,En=E[x2n]=已住小严当&j,/非负，故从加E<+8知/?=()0

15、x

16、05/(a)<1]jf{x)dxE[x

17、/(x)Sl]jf{x)dx<+ocoEf{x)dx<+oo-HC-En/t-0lim

18、J乙(x)f(x)dx=limEIMT8JnE：fx)dx=lim£J/(兀)么二£JfMdxi=0Et匸0£.舁一>8注意由单调收敛定理和/(x)no可测知jfMdx=jf(x)dx=jf{x)dx=j/2"zM♦-”ElimEi/I_>Xr-0+oo+co-boo+co2i+{dx=