实变函数论课后答案第二章4

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1、实变函数论课后答案第二章4第二章第四节习题1.证明全体有理数所构成的集合不是集，即不能表成可数多个开集的交.证明：设庄上全体有理数为｛斤，①牛…乙,•••｝=©•则一个匕｝作为单点集是闭集，所以Q=□｛/；•｝是心集，但要证Q不是集，则不容易.Z=1这里用到:定理，设EuR”是心集,以/=1,2,…)是闭集，若每个以皆无内点，则E也无内点(最后再证之)反证设0=｛/；;心1,2,・・・｝为集，B

2、Jg=nGz.,(G为开集，心1,2,…/=1)R1上的单调函数的全体所组成的集合的势为c=K.证明：任取R上

3、的单调函数则其间断点至多可数个，设其无理数的间断点，为西，兀2,•••，£，•••(可为有限)设尺中的有理数为0=｛斤巧,・・・乙,・・・｝,7/切，令卩⑷二｛(K'/(Xi))'hJh))'・・・(%Jd))'aJ("))'・・・｝uR2.则0(/)为F屮可数集.若f9gen'使0(/)=0(g)‘则v(xp/(x.))e^(/)存在(马,g(£))”(g)使(兀J(xJ)=(M，g(£))所以兀•=E，/d)=g(£)，从而办圧0，/心)二g(c)・巧的无理数间断点无，兀也是g的无理数间断点，且g(

4、兀)=/(兀)・反过来也是的，0g的无理间断点，形也是/,的无理数间断点，且g(兀•)=/($•).故0(c=°(g)表明/•与g在有理点重合，无理间断点相同，且在无理间断点的值.所以/=£于尺，所以0是1—1的.利用下面结论：Claim:任何其有连续势的集合的全体可数子集所构成的族的势为连续势.知：□

5、x）=y｝#0且y,zeY,y^z时必有（p~x（z）=0.令r=｛（p-yyyyeY]f则由选择公理存在一个集合尢，它由「中每一个集合（p-y）屮恰取一个元素而形成，显熨uX,X/qw瓏，存在唯一一个yer,使ae（p'y）,所以艮与丫是对等的，故Y

6、尺上全体有理数的集合）若口为你集，则存在闭集好,i=l,2,…使口=0斥./=1所以□c=en[o,i]=nz；t-为集./=1[0川=口u｛Qn[o,i]｝』C）片]uCi｛q｝，｛叮，斥为闭集，乞｝无内点.k/=1丿R=1显为内点./=1所以E无内点.这说明[0,1]无内点（Baire定理）得矛盾.证毕.3.证明不可能有在[0,1]上定义的在有理点处都连续，在无理点处都不连续的实函数.证明：若存在这样的［0,1］±的实函数，它在有理点都连续，在无理点都不连续./(兀)的全体不连续点的集合为［0,1］上

7、的全体无理数为口，由本章第二节习题10结论知口为心集，这于本节习题2的结论：□不是你集矛盾.故不存在这样的［0,1］上的函数.2.证明庄中全体开集构成一基数为c的集合，从而尺中全体闭集也构成一基数为c的集合.证明：对任意的丘上开集合，由开集的构造定理，存在/?】U{g}U{-g}使得g=C)c)u(-8,仅)u(化,2)・/=］下而建立/?'上的开集到全体实数列集成的集合的一个映射/.若G=R',令/(G)=(0,若GhR',则G=Cl(匕,0JU(-°°,0g)U(氐,+°°)•Z=1令I(G)=(kg

8、,氏心,这里J=,若£主-汽心=0；若0“=-g、kg=化；若化wgj=0；若化=+8则这个映射I是单射.若GQuR'(GhQG?mF)且/(gJ=/(G2).G［=Cl(e，0JU(-8,08)U(%,+8)1=1G2=0(e,0；)U(-8,zt)u(益‘,+°°)/=1则Qg=%',0g=08,5=昭仇=卩;.故q=G?.又若/(G)=(0,0,…则必有G=Rl(否则/(G)至少有一个分量不等于零)・故/是单射，所以尺上全体开集所作成的集合的势Sc.令一方而，X/dwF,(d,a+1)是一开集，令7

9、：RIR上全体开集之集合，则c

10、B（x,r）

11、;xeQre0}={b（x⑴，斤）.显0：uT（O,l）g={（吗,偽，••％，•••）；%=0或1}U=U厂（舛卫2,…®“，…）«（.v,r）cV〜」1B（*"%）uU"[oB（*），G）riUG0（p{U）=^）（V）=>B（x,r）ct7,（x,r）GQnxQ+