实变函数论课后答案第二章1

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1、实变函数论课后答案第二章1第二章第一节1.证明的充要条件是对于任意含有的邻域（不一定以为中心）中，恒有异于的点属于（事实上这样的其实还是有无穷多个）而为的内点的充要条件则上有含有的邻域（同样，不一定以为中心）存在，使.证明：先设，则中有无穷多个点。现在设，这表明，故，有故故有无穷个点，自然有异于的点.这就证明了必要性，事实上，是无穷集，故中有无穷多个异于的中的点.反过来，若任意含有的邻域中，恒有异于的点属于，则，中，有异于的点属于，记，则显然由条件中有异于的点，由归纳法易知，有和，这表明中有无穷个中的点.由的

2、任意性知，若为的内点，则使，故必要性是显然的.若存在邻域，使，则从前面的证明知，故为的内点.2.设是全体实数，是上的全部有理点，求.解：，由有理数的稠密性知，中有无穷个中的点，故，故.而另一方面，，必有，使，故故，所以.表明而故.1.设是普通的平面，求.解：事实上，若，则由于是上的连续函数，必存在，使有.故，故不是中的点矛盾.故时反过来，若则，作上的函数则是上的连续函数，，，，使现在任取，使.由上面的结论，存在，使.故满足（1）；（2）.故（3），故所以由习题1的结论知，所以.而.1.设是普通的平面，是函数的

3、图形上的点所作成的集合，求.解：设函数的图形是.下证存在，，设，则存在使若，则（当充分大）则所以若，则，，所以故反过来：，若，，故存在，使，从而即存在故.若则从知存在使，令.则，所以，故故结论成立.1.证明当是中的不可数无穷点集时，不可能是有限集.证明：记为的孤立点集，则所以.若能证明是至多可数集，则若是有限集或可列集知为至多可数集，这将与是中的不可数无穷点集矛盾.故只用证的孤立点集是至多可数集，使故是到中的一个互不相交的开球邻域组成的集的对应.而任一互不相交开球邻域作成的集合是可数的，因为任取，取有理点，则

4、从则与对应故是至多可数集.证毕