推广的多元中值定理的研究

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1、华东船畑工业学院学报JournalofEauiChinaShipbuildingInstituteNo.3Sop.1993推广的多元中值定理的研究奚文湘U「—-—（基础课系）摘要，本文给出推广形式的多元中值定理•并讨论了中值点的渐近性质.它的待例为推广的一元函数的中值公式.关權词.中值定理｝多元亟数中图法分类号：0174.1多元函数中值定理在多元函数的理论和研究中起了很重要作用•对于一般多元函数持别是二元函数中值定理已在教材或文献中有所叙述。本文研究以差分形式出现的二元函数的中值定理及定理中9的变化趋势，这对研究多元函数本身的一些性

2、态及差分都具有重要意义。主要结果如下。定理1设几工“）在［珈•刁％•门上有连续的二阶偏导数，则有中值公式:于（如歹0）—2/（珈+*・歹0+寺）+于（3：0+20+丘）=£（人舟+*診'*/（xo+^.yo+^i）其中OV0V1・为=父一£。・氏=歹一％如果/（X^）又满足①在E•引如门上有p+2阶连续偏导数•②丟箱口子（珈小〉耳0・*=2.3•…*+1・i=0•…丄③»：；一"斑小〉不全为零・i=0.1.・・・"+2則中值公式（i）中o满足，当a，厂沿着两点连线趋于（珈*。）时有£/2十_22v(7+1)77+2)证：1)先证公式

3、(1)令F(0—/(x««yo)—2/(xo+<寺)+/(»©+^»fo+tt)—此时F（0）=0,令入满足F（l）-Or即几=4［/（血小〉一2于（班+»

4、■，歹。+专〉Qo+3o+A）］(1)(2)(3)(4)由Rolle定理知存在01£（0,1〉，使F（%）=0,由卩（0）=0,卩（叭〉=0再用Rolle定理得h洛+上磊）（Zo+OA，Vo+OE）—入=0,其中OW（0.1）（4）（5）联立即得公式（1）,证毕。2）现证公式（2）令F（0=/（xo»yo）—2/（Zo+C号■，歹o+C•寺）+/（却+弘如+第〉砂“）=<*舟+

5、左炸”•fQo+伽•■+仙〉一誌7（A舟+七診••J5+C寺■如+』y）•由条件可知F3（0）=0.s=0,l,2,・・・・p+l.F（^2>（0）^0,由Taylor公式得尸（1）=尸（0〉+尸（0）+普許+・・・+芮±尹+畑=茶茁fW舟刁診"心+佔卄加—誌7（&名+斤磊）卄2丁（工0+#血，Vo+寺3）］・0V4V1（6）（6）和（1）联立，并用&=tcosa,上=7*sina代入，当点（z・歹〉沿连线趋近于（丁‘如）时，即取r-*U的极限_由条件（2）及运用^Hospital法则p次得2>+*—2ao石齐丁N（cga亦+sin

6、°詁2gg•■•叭"（0）工0・••戦=屛芬!•兰韦二2•变形即证得（2儿值增大，当L8时,—1定理2设JQ,y）,ga』）在E宀如门上有连续的二阶偏导数，知伽，加不全为零•则有中值公式/（^of^o）—2/（%+丁』0）+/（丄（）+人小+*）（A玉+山缶）子（坯+%•如+&*）⑻22•貝甲UV3VIM—x—z(jt«—y如•Q石+左乔〉％(Mo+%』o+%)证:令F（：）=Lf（引»8fc）一2f（工0+寺人皿+寺上）+/（/o+A，Vo+R）］—(心

7、0,令入满足F(l)-Ot即[fGo小)一2f(引+*巾2o+**)+/*a+A、yo+Ar)]=入［?Qo,#o）—2?3o+当■*』（1+*£）+0（却+办，航+上）］由Rolle定理知存在ex,ov&vi■使尸（乞）=0,即U舟+上寿）•Cf（Ho+&l2o+0l約一于（坯+令飪如+贫）］~""召+上器〉•［g（zc+QM』o+&4—gS+级月c+鲁■斤）］=0(10)由条件不全为零，可保证（10〉式中族后系数不等于零•这是因为若为零时•由务Qo+O/jo+Qi应）一血（肌輸九+寸即可推出存在（

8、设矛盾。同时由以上条件也保证（8）式左端分母不为零•通过由hk1339（20川）一29（引+至』0+空）+9（坯+人』0+上）=予（人玉+丘务〉勺Qo+Ohyo+eOHO.故公式（8）左端分母有意义。（人£+«•［/（Zo+0：A,如+处）一/（珈+£〃，如+¥*）］由（8）式可化为人=—―警¥1—（11）（人花+怡乔）•［g&o+&m、yo+O【g）—g（zo+寸h』o+寸£）］在［吳如上对Sdg函数运用中值定理即得0<6<1（▲舟+*強円Qo+弘•夕o+°上）九=55（人丟+&务严只坯+%・％+%）♦由此即证得（8）.定理3设几

9、珀小在［%•巧如刃上有连续八阶偏导数，且杰話"（珀町不全为零八=0,1•…•叭则有中值公式马d（—1）•心+曰小+亍）（嗨+埸）"。+%®+ok>（-1）•畑+—»yo+—）（嗨+*舟）Wo+<—o0V&Vl/=工一To“=y—yo（