正弦定理与余弦定理教案

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1、正弦定理和余弦定理板块一【正弦定理】1、正弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即-^—=-^—=-^—=2R(注：为AABC外接圆半径)sinAsinBsinC2、解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角氛三角形屮的隐含条件：(1)在厶磁中，a+b>c.a—b€屮，A>B<=>sinA>sinA〉BocosAbA>B(3)在ZkABC中,A+B+C=^=>si

2、n(4+B)=sinC,cos(4+B)=—cosC,.A+BCsin=cos一22题型一：解三角形例］:(1)在ZABC中，已知A=45°,B=30°,c=10,解三角形；(2)在AABC中，B=30°,C二45°,求b的值及三角形外接圆的半径。4、正弦定理常见变形：(1)边化角公式：a=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinC(2)角化边公式：sinA=,sinB=,sinC=-^―2R2R2R(3)6Z:/?:c=sinA:sinB:sinC(4)亠亠二亠二.…」.=2RsinAsinBsinCsinA

3、+sinB+sinC(5)-—--—，-—--—，-—--—sinAsinBsinAsinCsinBsinC5•三角形中常用的面积公式abacbc（l）S=^ah（h表示边a上的高）.(2)S=^bcsinA=qabsinC=qacsinB.题型二：判断三角形的形状”卄sinAcosBcosCA“z、例2：若==^iJAABC为（）abcA.等边三角形B.等腰三角形C.有一个内角为30°的直角三角形D.有一个内角为30°的等腰三角形例3、在厶ABC中,若sinA=2sinBcosC,_&sin2A=sin2B4-sin2C,

4、试判断AABC的形状。题型三：范围与最值问题例4：设锐角Z^ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且d=2bsinA（1）求B得大小；（2）求cosA+sinC的収值范围。题型四：正弦定理与三角恒等变换例5：设函数f(x)=—sin兀cosx.xe22R.(1)求函数/(x)的最小正周期和值域;(2)设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=—，且a=—h,22求C得值。6•在△ABC中，已知血〃和A时,解的情况图形关系式a=bsinA一解A为锐角bsinAb例

5、1：下列条件判断三角形解得情况，正确的是()A.a=8,b=16,A=30。有两解B.Z?=18,c=20,B=60°有一解C.d=15,b=2,A=90。无解D.d=30,5=25,4=150。有一解例2、在厶ABC中，已知下列条件，解三角形:(1)a-10,b=20,A=60°；(2)b=10,c=5羽,C=60°；【课堂精炼】1.在厶ABC中，A=45°,3=60。,a=2,则b等于()D.2^6A.^6B.yjlC，V32.在AABC中，已知a=8,3=6()。，C=75°,则b等于()A.4^2B.4-^3C.4a

6、/6r32DT3.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，若A=105°,B=45。，b=yfi,则=()■A.1]B.^C.2D•才4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为d、b、c,A=60°,a=4书,b=4、庖，则角3为()A.45。或135。B.135°C.45°D.以上答案都不对5./XABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c=迄,b=&,3=120。，则a等于()A.a/6B.2C.羽D.^26.在△ABC中，a：b：c=l：5：6,则sinA:sinB:sinC等于()A.1：5：6B

7、.6：5：1C.6：1：5D.不确定7.在厶ABC中，若黑令=£，则△人3(?是()vOSDClA.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D・等腰三角形或直角三角形8.在ZkABC中，角A.B.C所对的边分别为a、b、c,若a=l,c=百,C=y,则人=.4、月9.在△ABC中，已知°=于，b=4,A=30°,贝ljsinB=・1().在△ABC中，已知ZA=30°,ZB=120°,/?=12,则a+c=11.在△ABC中，b=A书,C=30°,c=2,则此三角形有组解.版块二【余弦定理】1、在ZVIBC屮，若角A,B,C所

8、对的边分别是g,b,c,则aT=b1+c2—2/?ccosAb2=a2+c2—2accosBC1=a2+b2—2«Z?cosC2^b2-c22ah则C=90°；/?24-c2—a2a24-c2—b22、余弦定理的推论：cosA=—,cosB二~,cosC=2hc2ac3、设a、b、c是AA