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1、第二章状态空间分析法2-1状态、状态变量.状态空间、状态方程、动态方程任何-个系统在特定吋刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（i个或多个）独立的状态变量来描述。设系统有Q个状态变量X”X2,…，Xn,它们都是吋间1：的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由X，X2，…，Xn为轴的Q维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是：X—（Xi,X2，•…，xn）X称作系统的状态向量。设系统的控制输入为：U.,6,…，ur,它们也是吋间七的函数。记：U=（U[,U2，…，Ur）T那么表示系统状态变量XQ
2、随系统输入U（七）以及时间七变化的规律的方程就是控制系统的状态方程，如式（2—1）所示。■X（t）=F（X（t）,U（t）,t）（2—1）其中F=（£,f2,fn）T是一个函数矢量。设系统的输出变量为w，y?,…，ym,则Y=(y”y?,…，yJ称为系统的输出向量。表不输出变量丫(七)与系统状态变量x(t)＞系统输入uCt)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2-2所示。Y(t)=G(X(七)，U(t),t)・(2—2)其中G=(g,,g2,...»gm)T是一个函数矢量。在现代控制理论中，用系统的
3、状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。根据函数向量F和G的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：•线性定常(时不变)系统(匸n-Umeci厂TimeIrivci厂iorrt)；•线性不定常(时变)系统；•非线性定常系统；•非线性时变系统。在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。这时，系统的动态方程可以表示如下：■卷=arLxi+Q章卷+・••++b^u丄+b12u^+…+blrur■x2=ailx1+a2£x^+•••+a2nxn+bnu
4、±+b22u£+•••+b2rur■■■■.召=anl^l+%£卷+…++bnlUl+以小？+…+%戶「y2=G丄孔+c红卷+…+匚细召+乞丄®+dnuz+・・・+■■■y.=。泌卷+C沁卷+…+O亦耳+M+…+氏八…（2—4）写成矢量形式为:X=AX+BUY=CX+DU（2—5）"11"12…TX〃21必22•••Jj=••.••••■•■•a泌"曲2••・_上式中，Aw称为系统矩阵，Bw称为输入（或控制）矩阵。A由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B则主要体现了系统输入的施加情况。C^xn矩
5、阵称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称为宜接转移矩阵，表示了控制向量。直接转移到输出变量Y的转移关系。一般控制系统屮，通常情况D=0。将（2-5）式表示的系统动态方程用方块图表示为如图2T所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接转移。图2-1系统动态方程的方块图结构2-2建立实际物理系统的动态方程一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，-•般先要建立其运动的数学模型（微分方程（组）、传递函数、动态方程等）。根
6、据具休系统结构及英研究目的，选择一定的物理量作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定衛如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。［例2T］机械平移系统如图2-2为一加速度仪的原理结构图。它可以指示出其壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。图2-2加速度仪的原理结构图设:X为壳体相对于惯性空间的位移；Xo为质量m和对于惯性空间的位移；y=xs-x0为质量m相对于壳体的位移.根据牛顿第二定律，这个系统的运动方程为:将xo=x.-y代入我们就可以得到关于加速度仪以变量y为输出
7、的微分方程:以质量m相对丁•壳体的位移y作为状态变量x,,m相对于壳体的速度为状态变量X"并将质量m相对丁•加速度仪外壳的位移y作为系统输出，以加速度仪外壳相对于地面的加速度鸡作为系统输入u,那么有:±1—壬2・k卩乂2=兀]兀2+紀mmy=^写成矢量形式为:u=AX+Buy=x±=[10]y=CX+Du（2—6）这就是醒三所示加速度仪的动态方程。当加速度卷为常数，冃系统达到稳定状况时，有:y=mxjk所以我们可以通过y的读数，确定运动物体的加速度值。【例2-2】RLC电路如图2-3所示.以G作为系统的控制输
8、入u(t),e。作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。2・3RLC电网络该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和6我们可以取电容C两端电压和流过电感L的电流i作为系统的两个状态变量，分别记作冷和x2O根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：L+&2+X]=以(f)dt1「?心=-J^2^整理得:・1・1尺1小兀2=_丁无_三兀2+7•以0)写成矢量形式为
