状态空间分析法.doc

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1、第二章状态空间分析法2－1状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组(一个或多个)独立的状态变量来描述。设系统有n个状态变量x1，x2，…，xn，它们都是时间t的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由x1，x2，…，xn为轴的n维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:X=(x1，x2，…，xn)TX称作系统的状态向量。设系统的控制输入为：u1，u2，...，ur，它们也是时间t的函数。记：U=(u1，u2，...，ur)T那么表示系统状态变量X(t)随系统输入U(t)以及时间t变化的规律的方程就是控

2、制系统的状态方程，如式（2－1）所示。　………………………………………………………………（2－1）其中F=(f1，f2，...，fn)T是一个函数矢量。设系统的输出变量为y1，y2，...，ym，则Y=(y1，y2，...，ym)T称为系统的输出向量。表示输出变量Y(t)与系统状态变量X(t)、系统输入U(t)以及时间t的关系的方程就称作系统的输出方程，如式2－2所示。　………………………………………………………….(2－2)其中G=(g1，g2，...，gm)T是一个函数矢量。在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统

3、的状态空间表达式或称动态方程。根据函数向量F和G的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：·线性定常(时不变)系统（LTI-LinearTimeInvariant）；·线性不定常(时变)系统；·非线性定常系统；·非线性时变系统。在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。这时，系统的动态方程可以表示如下：　…………….（2－3）………………（2－4）　写成矢量形式为：　……………………………………………………………………………（2－5）上式中，Anxn称为系统矩阵，Bnxr称为输入(或控制)矩阵。A由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B则主要体现了系统输入

4、的施加情况。Cmxn矩阵称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称为直接转移矩阵，表示了控制向量U直接转移到输出变量Y的转移关系。一般控制系统中，通常情况D=0。将（2-5）式表示的系统动态方程用方块图表示为如图2-1所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接转移。图2－1系统动态方程的方块图结构2－2建立实际物理系统的动态方程一般控制系统可分为电气、机械、机电、液压、热力等等。要研究它们，一般先要建立其运动的数学模型（微分方程(组)、传递函数、动态方程等）。根据具体系统结构及其研究目的，选择一定的物理量

5、作为系统的状态变量和输出变量，并利用各种物理定律，如牛顿定律、基尔霍夫电压电流定律、能量守恒定律等，即可建立系统的动态方程模型。[例2-1]机械平移系统如图2-2为一加速度仪的原理结构图。它可以指示出其壳体相对于惯性空间（如地球）的加速度。设:xi为壳体相对于惯性空间的位移;x0为质量m相对于惯性空间的位移;y=xi-x0为质量m相对于壳体的位移.　　根据牛顿第二定律，这个系统的运动方程为:将x0=xi-y代入,我们就可以得到关于加速度仪以变量y为输出的微分方程:以质量m相对于壳体的位移y作为状态变量x1，m相对于壳体的速度为状态变量x2，并将质量m相对于加速度仪外壳的位移y

6、作为系统输出，以加速度仪外壳相对于地面的加速度作为系统输入u，那么有：　写成矢量形式为：　………………………………………（2－6）这就是图2-2所示加速度仪的动态方程。当加速度为常数，且系统达到稳定状况时，有：所以我们可以通过y的读数，确定运动物体的加速度值。【例2-2】RLC电路如图2-3所示.以ei作为系统的控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的动态方程。该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，我们可以取电容C两端电压和流过电感L的电流i作为系统的两个状态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：整理

7、得：写成矢量形式为：　…………………………………………………………（2－7）这就是如图2-3所示RLC电网络的动态方程。　【例2-3】电枢控制式电机控制系统如图2-4所示.其中R、L和i(t)分别为电枢回路的内阻、内感和电流，u(t)为电枢回路的控制电压，Kt为电动机的力矩系数，Kb为电动机的反电动势系数。　根据电机原理，电机转动时，将产生反电势eb，其大小为：eb=Kb*ω在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩T与电枢回路的电流成正比，即：T=Kt*i(t)根据基尔霍夫电压定律，电枢回路有下列关系：