（浙江专用）高考数学第三章函数、导数及其应用第十一节导数的应用教案（含解析）

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1、第十一节导数的应用1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数；f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的

2、函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为

3、函数的最小值．[小题体验]1．(2018·诸暨适应性训练)函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是(　　)A．0　　　　　　　　　　B．1C．2D．无数个解析：选A　函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝6x＋－2＝，由于x＞0，g(x)＝6x2－2x－1中Δ＝－20＜0，∴g(x)＞0恒成立，故f′(x)＞0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．故选A.2．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．答案：33．(2018·台州模拟)设在定义域上的可导函数f

4、(x)满足f(ex)＝x－ex，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________，它的单调递增区间是________．解析：设t＝ex，则x＝lnt，则f(ex)＝x－ex，等价为f(t)＝lnt－t，即f(x)＝lnx－x，函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为f′(x)＝－1，由f′(x)＝－1＞0得＞0，得0＜x＜1，即函数的单调递增区间为(0,1)．答案：lnx－x　(0,1)1．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比

5、较就下结论．3．注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．[小题纠偏]1．(2018·杭州十二校联考)函数f(x)的导函数f′(x)的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴的交点坐标为(1,0)，则f(0)与f(3)的大小关系为(　　)A．f(0)＜f(3)　　　　　B．f(0)＞f(3)C．f(0)＝f(3)D．无法确定解析：选B　由题意知f(x)的图象是以x＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)＝f(2)＞f(3)，故选B.2．函数y＝2x3－2x2在区间

6、[－1,2]上的最大值是________．解析：y′＝6x2－4x，令y′＝0，得x＝0或x＝.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8.∴最大值为8.答案：8第一课时　导数与函数的单调性[典例引领](2018·杭州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，试讨论f(x)的单调性．解：f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时

7、，f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．[由题悟法]导数法判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．[提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时应用]已知函数g(x)

8、＝lnx＋ax2＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．解：(1)g′(x)＝＋2ax＋b(x＞0)．由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，所以b＝－2a－1.(2)由(1)得g′