2020版高考数学第二章函数、导数及其应用第十一节导数的应用学案文（含解析）新人教A版

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1、第十一节　导数的应用2019考纲考题考情1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则x＝a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的

2、函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则x＝b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最

3、小的一个是最小值。1．函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件。如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点。一、走进教材1．(选修1－1P93练习T1(2)改编)函数y＝x－ex的单调递减区间为(　　)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)解析　y′＝1－ex<0，所以x>0。故选B。答案　B2．(选修1－1P99A组T5(

4、4)改编)函数f(x)＝2x－xlnx的极值是(　　)A．　　　B．C．e　　　　D．e2解析　f(x)定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝2－(lnx＋1)＝1－lnx，当f′(x)>0时，解得0e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e。故选C。答案　C二、走近高考3．(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4　　　B．－2C．4　　　　D．2解析　由已知得，f′(x)＝3x2－12＝3(x2－4)＝3(x＋2)(x－2)。于是当x<－2或x>2时，f′(x

5、)>0；当－20在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意

6、。当a>0时，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得00，f(x)单调递增，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为－3。答案　－3三、走出误区微提醒：①原函数与导函数的关系不清致误；②极值点存在的条件不

7、清致误；③连续函数在开区间内不一定有最值。5．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值解析　在(4,5)上f′(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数。故选C。答案　C6．函数g(x)＝－x2的极值点是________，函数f(x)＝(x－1)3的极值点________(填“存在”或“不存在”)。解析　结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是