2020版高考数学第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入教学案含解析

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1、第四节　数系的扩充与复数的引入[考纲传真]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，

2、b，c，d∈R)．(5)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作

3、z

4、或

5、a＋bi

6、，即

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、＝(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n

11、∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．4．z·＝

12、z

13、2＝

14、

15、2，

16、z1·z2

17、＝

18、z1

19、·

20、z2

21、，＝，

22、zn

23、＝

24、z

25、n.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()[答案]　(1)×　(2)×　(3)×(4)√2.(教材改编)如图所示，在复平面内，点A表示复

26、数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．DB　[共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．(教材改编)设m∈R，复数z＝m2－1＋(m＋1)i表示纯虚数，则m的值为()A．1B．－1C．±1D．0A　[由题意得，解得m＝1，故选A.]4．复数＝()A．iB．1＋iC．－iD．1－iA　[＝＝＝i.]5．(教材改编)设x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数z＝x＋yi在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限D　[由题意知解得则复数z＝4－2i在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.]复数的有关概念

27、1．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则

28、z

29、＝()A．0B.C．1D.C　[z＝＋2i＝＋2i＝i，所以

30、z

31、＝1.]2．(2018·浙江高考)复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－iB　[＝＝1＋i，所以复数的共轭复数为1－i，故选B.]3．(2017·天津高考)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．－2　[∵a∈R，＝＝＝－i为实数，∴－＝0，∴a＝－2.][规律方法]　解决复数概念问题的策略(1)复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需

32、把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可.(2)求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解.复数的运算►考法1　复数的乘法运算【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－iB．－3＋iC．3－iD．3＋i(2)(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝()A．－3B．－2C．2D．3(3)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2(1)D　(2)A　(3)B　[(1)(1＋i)

33、(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.故选D.(2)(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.(3)因为(2＋ai)(a－2i)＝－4i，所以4a＋(a2－4)i＝－4i.所以解得a＝0.故选B.]►考法2　复数的除法运算【例2】　(1)(2018·天津高考)i是虚数单位，复数＝________.(2)(2018·江苏高考)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．(1)4－i