由一道几何题对称图形的探究引出的思考

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1、作者:河南省舞阳县吴城一屮谷瑞林邮编:462415邮箱：WCYZGRL@163.com电话:13949883399由一道几何《作轴对称图形》的探究引出的思考人教版八年级数学上册［12.2.1作轴对称图形】一节第42贝的探究:探究：耍在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A,B两镇供气，泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短？你可以在L上找儿个点试一试，能发现什么规律?B镇♦A镇♦

2、=］燃气管图1作法：1•作点B关于L的对称点B；（如图1）2•连结AB',交L于C,3.连BC。则AC+BC最短。证明:如图2,我们不妨在直线L上另外取一点C（不同于点C）,连接AC',BC,BC；因

3、为直线L是点B,B的对称轴，点C,C在L上,所以CB二CB；CB=CBo.AC+CB=AC+CB=AB/o在8旳仲,ABVAC+CB’•••ACHBVAC+CB,即AC+CB最小。下而这些题目看似与匕而的作轴对称图形没有立接关系，但仔细看來，都是上而题目的衍生与拓展。看下面的题目：一、例题例1.如图3,在等腰三角形ABC中，ZBAC二120°，点P是BC上一个动点，M、N分别是AB.AC的屮点，若PM+PN的最小值是2,求AABC的周长。解：作点M关于BC的对称点Mz,连MN,交BC于P,连PM,则PM+PN最短；即WN的值是2。设MM与BC的交点是D,则MD二丄MM—连MN,过

4、A作AH1BC于H,2・・•等腰三角形ABC,ZBAC二120：・・・BH二CH,ZBAH二ZCAH二60°,AZB=30°,又TM、N分别是AB、AC的中点,则MN〃BC,MN二丄BC二BH,21/,又由题意得:MD=-AH=DMZ,MM二All,2・・・可证RtAABH^RtAMNM,.MN=AB=2,在RtAABH屮，ZB二30°,AAH=-AB=1,2ABH=722-12=V3,・・・BC二2巧・・・AABC的周长二2+2+2V3=4+2^3。图4图5例2.如图4,已知正方形的边长是8,M在DC±,且D、1二2,N为线段AC上的一动点，求DN+MN的最小值。解:作点D关于

5、AC的对称点D；则点D，与点B重合,连BM,交AC于N,连DN,则DN+MN最短，H.DN+MN二醐。TCD二BC二8,DM二2,AMC=6,在RtABCM中，BM=782+62=10,/.DN+MN的故小值是10。例3.如图5,在直角三角形ABC中,AC=BC,ZACB=90°,D是AC边的中点,E是AB边上的一动点，DE+CE的最小值是石，求AC的长。解：作点D关于AB的对称点F,连CF,交AB于E,连DE,则DE+CE的瑕短；即CF=V5,可证AF〃CB,ACAF是直角三角形,/.AF=AD=DC,设AF=x,则AC=2x,由勾股定理得:x2+(2x)2=(V5)2,・・・x

6、二1,・・・AC二2例4.如图6,已知两点D(l,-3),E(-l,-4),试在直线y=x上确定一点P,使点P到D、E两点的距离之和最小，并求出最小值。解:作点E关于直线y=x的对称点M,连MD交直线y=x于P,连PE,则PE+PD最短；即PE+PD二MD。VE(-l,-4),AM(-4,-1),过M作MN〃x轴的直线交过D作DN〃y轴的直线于N,则MN丄ND,又VD(l,-3),则N(l,-1),在RtAMND中,MN二5,ND二2,AMD=7?+/=^29。・••最小值是V29。例5•如图7,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C,对称轴为直线x=l。且A、

7、C两点的朋标分别为A(-1,0),C(0,-3)(1)求抛物线y二ax*bx+c的解析式；(2)求AAOC和△BOC的而积的比；(3)在对称轴上是否存在一个点P,使APAC的周长最小。若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)VA(-1,0),C(0,-3)在抛物线y=ax2+bx+c±,'ra=lFj[d_b+c=0—b11>：9又x二-1解得彳方=—21L：Ic=-32a小花Z=_3j[・•・抛物线的解析式是y=x2-2x-3o\u(2)如图8,VAAOC和△BOC的高都是0C,円FiAAAOC利ABOC的面积的比是0A:OB,VOA=1,OB=3,・・・A

8、AOC和ABOC的面积的比是1:3.(3)存在理由：如图8,作点A关于直线x=l的对称点是点B,连BC交直线x二1于P,连PA,则PA+PC最短;即PA+POBC,AAPAC的周长最小(AC是定值)。由⑴知B(3,0),又・・・C(0,-3)设直线BC的解析式是y二kx+b,过B(3,0),C(0,-3),3k+b=0b=—3・•・直线BC的解析式是y=x-3,又直线BC:y=x-3与对称轴x=l相交于P,则P(l,-2)所以P点的坐标是(1,-2)o二、练习1•如图