由一道几何题引出的变式思考

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3、面，尤其是对问题（主要指例题和习题）进行变通推广，让学生从不同的角度、不同层次、不同形式、不同背景下重新认识的一种数学教学模式。关于特定数学内容的不同方面的变式教学，有助于学生产生体验新的知识的体会，有助于促进学生形成看待原有问题的全新视角，有助于培养学生的探索精神与创新意识。在高中立体几何部分有一个重要的知识点：面面垂直的判定与应用。教课书中提供的这类题目较少，许多教师和学生对该知识点的探究缺乏足够的素材和经验，针对这一情况，笔者设计了一道例题，并引出五种数学变式的形式，这对“面面垂直的判定与应用”起到很好的补充与推广，有利于师生的学习。案例：如图，已知正方体，求证：平面平

4、面。本题的证明方法有多种，现仅选一种常规的证明方法：在正方体中，有：平面，平面即，而在正方形中有对角线，且所以：平面，而平面，由面面垂直的判定定理得：平面平面。仔细思考后发现平面与平面的垂直的关系与的位置无关，只要能够同时保证与以及与垂直即可。而与的垂直只与底面四边形的形状有关，即可以为正方形、菱形。而与的垂直只要侧棱垂直于底面即可，也就是该几何体是“直棱柱”就可以。从而可以对该案例进行如下变式训练：变式一：已知正方体，是棱上一点，求证：平面平面。【点评】：结合题意在正方体中，是棱上一点，显然有平面，仿案例分析容易得；而与是否垂直与案例中的情况一样，这样本题就得证了。变式二：

5、已知正四棱柱，是上一点，求证：平面平面。【点评】：如果知道正四棱柱的底面是正方形以及侧棱与底面垂直后，就会发现其实此题与变式一如出一辙。变式三：已知直四棱柱，底面为菱形，为的中点，是的中点，是棱上一点，求证：平面平面。FG【点评】：底面为菱形就保证了对角线与互相垂直，为的中点，是的中点，是的中位线，即：，由此可知：；在直四棱柱中棱垂直底面，则与垂直是显然的，从而得到：平面，而平面所以：平面平面。变式四：已知直四棱柱，底面为菱形，有一线段，是棱上一点，求证：平面平面。【点评】：结合题意可知，底面为菱形则对角线。无论线段在哪个平面内，有条件就可以很顺利得到，其它条件与变式二、变式

6、三的一样，容易证明平面，而平面，所以：平面平面。变式五：已知直四棱柱，底面为菱形，若平面平面，问点应满足什么条件？【点评】：此题的变式更为灵活。在教学中，老师若就此案例按照上面循序渐进有“梯度”的开展变式，学生回答此题并不困难。只要点能够与、能够构成一个平面，即只要满足点不在线段上即可，其证明过程与案例的过程差不多。普通高中数学新课程标准指出的“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”就要求教师在钻研教材时要留意多为学生创造有利条件，适时采用“变式教学”，让学生体验数学发现和创造的历程，从而达到在有限的时间里面学生能够对知识进行举一反三。结合笔者的教学试验，发现对“面面垂直的判定与

7、应用”采用上述的“变式教学”环节开展，效果很好。参考文献：[1]薛金星主编《怎样解题》北京：北京教育出版社，2006。[2]中华人民共和国教育部《普通高中数学课程标准（实验）》北京：人民教育出版社，2003。[3]李求来主编《中学数学教材教法》长沙：湖南教育出版社，1999。[4]傅世球著《数学教学艺术导论》陕西：陕西人民教育出版社，2000。备注：文章可以适当修改；联系电话：13875011929E-meil：wanghuabo1979@sina.com袃衿羇蒂蚆螅肆薄袂肄肅芄蚄羀肄莆袀羆肃蕿螃袂肂蚁