一比较法 (3)

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1、河北饶阳中学学案编制人使用日期审核高二数学组书山有路勤为径学海无涯苦作舟§2.1.1不等式的的证明(1)比较法姓名学习目标：1.理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法;2.了解琴生不等式的及其背景知识情景：1．绝对值三角不等式：定理1如果,那么.当且仅当时,等号成立.定理2如果,那么.当且仅当时,等号成立.2.含绝对值不等式的解法：设为正数,则10.;20.;30.设,则.3．实数大小必较法则：案例学习：例1设，求证：.例2若实数，求证：例3已知求证例4甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间

2、以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走.如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点.第7页河北饶阳中学学案编制人使用日期审核高二数学组书山有路勤为径学海无涯苦作舟例5设求证；对任意实数，恒有“欲穷千里目,更上一层楼.”10.在例5中,特别地,令,则得再结合函数的图象,这数和形20.琴生在1905年给出了一个定义：设函数定义域为，如果，都有（1）则称为上的下凸函数.若把(1)式的不等号反向，则称为上的函数.30.其推广形式是：若函数的是上的下凸函数，则，都有（2）当且仅当时等号成立.一般称（2）式为琴生不等式.40.琴生不等

3、式推广形式：设，是上的下凸函数，则都有：，当且仅当时.若是上凹函数，则上述不等式反向.把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式.第7页河北饶阳中学学案编制人使用日期审核高二数学组书山有路勤为径学海无涯苦作舟选修4-5练习§2.1.1不等式的的证明(1)比较法姓名1、比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）与；（2）与.2、已知求证：（1）（2）3、若，求证4、已知a≠0，比较与的大小．第7页河北饶阳中学学案编制人使用日期审核高二数学组书山有路勤为径学海无涯苦作舟5、已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0

4、，上是减函数，在，＋∞上是增函数．（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．6、已知函数，其中，为常数．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：对任意的正整数，当时，有．第7页河北饶阳中学学案编制人使用日期审核高二数学组书山有路勤为径学海无涯苦作舟参考答

5、案:例3本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例4分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，从而，其中都是正数，且。于是，即。从而

6、知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？例5证明考虑（1）式两边的差。＝＝（2）即（1）成立。6（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）

7、，并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．[解]（1）函数y=x+(x>0)的最小值是2，则2=6,∴b=log29.(2)设0y1,函数y=在[,+∞)上是增函数；当00),其中n是正整数.当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,第7页河北饶阳

8、中学学案编制人使用日期审核高二数学组书山有路勤为径学海无涯苦作舟在(－∞,－]上是增函数,在[－,0)上是减函数；当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数,在(－∞,－]上是减函数,在[－,0)上是增函数；F