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时间:2019-10-24
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1、人教A版高中数学选修4-1_1.4直角三角形的射影定理检测题A级 基础巩固一、选择题1.线段MN在直线l上的射影不可能是( )A.点 B.线段C.与MN等长的线段D.直线解析:由射影的概念易知线段的射影不可能是直线.答案:D2.直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6cm和4cm,则斜边上的高是( )A.10cm B.2cm C.2cm D.24cm[来源:学科网ZXXK]解析:由直角三角形的射影定理得,斜边上的高为=2(cm).答案:C3.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若=,
2、则等于( )A.B.C.D.解析:如图所示,由射影定理,得AC2=CD·BC,AB2=BD·BC.所以==,即=,[来源:Zxxk.Com]所以=.答案:C4.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,则△ACD与△CBD的相似比为( )A.2∶3B.4∶9C.∶3D.不确定解析:如图所示,在Rt△ACB中,CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·BD,即=.又因为∠ADC=∠BDC=90°,所以△ACD∽△CBD.又因为AD∶BD=2∶3,设AD=2x,BD=3x(x>0),所以CD2=6x2,所以CD=x,易
3、知△ACD∽△CBD的相似比为===∶3.答案:C5.如图所示,在矩形ABCD中,BE⊥AC于点F,点E恰是CD的中点,下列式子成立的是( )A.BF2=AF2B.BF2=AF2C.BF2>AF2D.BF24、图如下,在Rt△CDE中,EF⊥CD.由射影定理,得EF2=CF·DF=2×8=16,所以树的高度EF=4m.答案:47.在Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,过点D作DE⊥AC,DF⊥BC,则CE·CA=________.解析:在Rt△ADC中,DE⊥AC,所以由射影定理知CD2=CE·CA.同理CD2=CF·CB,所以CE·CA=CF·CB.答案:CF·CB8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AC=12cm,BC=15cm,则S△ACD∶S△BCD=________.解析:因为∠ACB=90°,CD是高,所以AC2=A5、D·AB,BC2=BD·AB,所以AD∶BD=AC2∶BC2.又因为S△ACD=·AD·CD,S△BCD=·BD·CD,所以S△ACD∶S△BCD=AD∶BD=AC2∶BC2.又因为AC=12,BC=15,所以S△ACD∶S△BCD=144∶225=16∶25.答案:16∶25三、解答题9.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,DE是在Rt△BCD斜边BC上的高,若BE=6,CE=2,求AD的长.解:因为CD⊥AB,所以△BCD为直角三角形,即∠CDB=90°,因为DE⊥BC.由射影定理可知:DE2=CE·BE=12,所以DE=6、2,CD2=CE·BC=16,所以CD=4,因为BD2=BE·BC=48,所以BD=4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,由射影定理可得:CD2=AD·BD,所以AD===.10.如图所示,已知BD、CE是△ABC的两条高,过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H,交CE于点F,且∠H=∠BCF.求证:GD2=GF·GH.证明:因为∠H=∠BCE,CE⊥BH,所以△BCE∽△BHG.所以∠BEC=∠BGH=90°,所以HG⊥BC.因为BD⊥AC,在Rt△BCD中,由射影定理得,GD2=BG·CG.①因为∠H=∠BCF,所以∠7、FGC=∠BGH=90°,所以△FCG∽△BHG,所以=,所以BG·CG=GH·FG.②由①②,得GD2=GH·FG.B级 能力提升[来源:学§科§网]1.在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶4,则tan∠BCD的值是( )A.B.[来源:学科网]C.D.2解析:如图所示,由射影定理得CD2=AD·BD,又因为BD∶AD=1∶4,令BD=x,则AD=4x(x>0),所以CD2=AD·BD=4x2,所以CD=2x.在Rt△CDB中,tan∠BCD===.答案:C2.已知在梯形ABCD中,DC∥AB,∠D=90°8、,AC⊥BC.AB=10cm,AC=6cm,则此梯形的面积为________.解析:如图所示,过C点作CE⊥AB于E,在Rt△ACB中,因为AB=10cm,AC=6cm,所以BC
4、图如下,在Rt△CDE中,EF⊥CD.由射影定理,得EF2=CF·DF=2×8=16,所以树的高度EF=4m.答案:47.在Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,过点D作DE⊥AC,DF⊥BC,则CE·CA=________.解析:在Rt△ADC中,DE⊥AC,所以由射影定理知CD2=CE·CA.同理CD2=CF·CB,所以CE·CA=CF·CB.答案:CF·CB8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AC=12cm,BC=15cm,则S△ACD∶S△BCD=________.解析:因为∠ACB=90°,CD是高,所以AC2=A
5、D·AB,BC2=BD·AB,所以AD∶BD=AC2∶BC2.又因为S△ACD=·AD·CD,S△BCD=·BD·CD,所以S△ACD∶S△BCD=AD∶BD=AC2∶BC2.又因为AC=12,BC=15,所以S△ACD∶S△BCD=144∶225=16∶25.答案:16∶25三、解答题9.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,DE是在Rt△BCD斜边BC上的高,若BE=6,CE=2,求AD的长.解:因为CD⊥AB,所以△BCD为直角三角形,即∠CDB=90°,因为DE⊥BC.由射影定理可知:DE2=CE·BE=12,所以DE=
6、2,CD2=CE·BC=16,所以CD=4,因为BD2=BE·BC=48,所以BD=4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,由射影定理可得:CD2=AD·BD,所以AD===.10.如图所示,已知BD、CE是△ABC的两条高,过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H,交CE于点F,且∠H=∠BCF.求证:GD2=GF·GH.证明:因为∠H=∠BCE,CE⊥BH,所以△BCE∽△BHG.所以∠BEC=∠BGH=90°,所以HG⊥BC.因为BD⊥AC,在Rt△BCD中,由射影定理得,GD2=BG·CG.①因为∠H=∠BCF,所以∠
7、FGC=∠BGH=90°,所以△FCG∽△BHG,所以=,所以BG·CG=GH·FG.②由①②,得GD2=GH·FG.B级 能力提升[来源:学§科§网]1.在Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶4,则tan∠BCD的值是( )A.B.[来源:学科网]C.D.2解析:如图所示,由射影定理得CD2=AD·BD,又因为BD∶AD=1∶4,令BD=x,则AD=4x(x>0),所以CD2=AD·BD=4x2,所以CD=2x.在Rt△CDB中,tan∠BCD===.答案:C2.已知在梯形ABCD中,DC∥AB,∠D=90°
8、,AC⊥BC.AB=10cm,AC=6cm,则此梯形的面积为________.解析:如图所示,过C点作CE⊥AB于E,在Rt△ACB中,因为AB=10cm,AC=6cm,所以BC
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