高中数学4.2用数学归纳法证明不等式举例素材新人教A版

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1、用数学归纳法证明不等式举例诱学·导入材料：英国天文学家、数学家哈雷从小就爱好数学和天文.哈雷对天文学的最大贡献是对彗星的研究.他在观测了大彗星之后，又对24颗彗星的轨道进行了计算，他注意到1456年、1531年、1607年及1682年彗星运行轨道的相似性.他用不完全归纳法得出了下面一个特性.即1531年-1456年=75年，1607年-1531年=76年，1682年-1607年=75年.这表明，这三次彗星出现的间隔时间几乎相同，于是哈雷猜想，过去天文学家认为这三颗不同的彗星也许是同一颗彗星.就是说，它可能先后三次经过那里.它以76年为

2、周期绕日运转.哈雷预言这颗彗星再次出现的时刻终于到来，1759年3月13日，这颗明亮的彗星，拖着长长的尾巴果然出现在天空之中.大家为了纪念哈雷的预言，称这颗彗星为“哈雷彗星”，哈雷受到全世界人们的尊敬.问题：曾有些胆小的人（包括某些天文学家）认为哈雷彗星必将与地球相撞，地球的末日将到来，有个别人甚至胆小到为避免见到惨剧，事先自杀了.地球真的会与哈雷彗星相撞吗？导入：数学归纳法看似极平常，蕴含的递推的思想却如奔腾河水一样扫荡整个自然数集.人类有了数学归纳法，便第一次拥有了征服无限的能力，这难道不是一种伟大的进步吗？在我们高中数学中，数列

3、是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，以数列为背景的不等式证明题，因是与自然数n相关的命题，我们很容易联想到用数学归纳法证明.温故·知新用数学归纳法证明不等式与已学的哪些知识和方法是息息相关的？答：我们在前面学习证明不等式时，已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式，还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中，有大量的关于自然数的不等式，如何证明它们呢？这就是我们学习本节的目的所在.基础·巩固1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证（）A..

4、n=1B..n=2C..n=3D..n=4思路分析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.答案：C2.用数学归纳法证明1+1)时，第一步即证明不等式__________成立.思路分析：因为n＞1，所以第一步n=2.答案：1++<23.用数学归纳法证明(1+)(1+))(1+)…(1+)>(k>1)，则当n=k+1时，左端应乘上__________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_________.思路分析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+)，最后一个是(1+)，共有2k-2k-1=2k-1项.答案：(

5、1+)(1+)…(1+)2k-14.用数学归纳法证明（A.，B.是非负实数，n∈N）时，假设n=k命题成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是__________.思路分析：要想办法出现ak+1+bk+1，两边同乘以，右边也出现了要求证的()k+1.答案：两边同乘以5.用数学归纳法证明，假设n=k时，不等式成立之后，证明n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________.思路分析：把n=k时的不等式中的k换成k+1即可.答案：综合·应用6.若n为大于1的自然数，求证：思路分析：注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理

6、使用.解：(Ⅰ)当n=2时，.(Ⅱ)假设当n=k时成立，即.则当n=k+1时，.7.求证：(n∈N+)思路分析：用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，是考试中的重点题型之一，在n=k+1的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧.解：记an=，（Ⅰ）当n=1时，a1==>1=,而a1=<2=，∴当n=1时，不等式

7、=1,B.1+B.2+…+B.10=145.(1)求数列{B.n}的通项公式B.n;(2)设数列{A.n}的通项A.n=logA.(1+)(其中A.＞0且A.≠1)，记Sn是数列{A.n}的前n项和.试比较Sn与logA.B.n+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得∴bn=3n-2.(2)证明：由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)…+)］,而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1

8、+)…(1+)与的大小.取n=1，有(1+1)=；取n=2，有(1+1)(1+）>.推测：(1+1)(1+)…(1+0＞①(Ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.(Ⅱ)假设n=k(k≥1)时①式成立，即(1+1)(1+)…+)