高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例课件新人教A版.pptx

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1、二　用数学归纳法证明不等式举例【自主预习】贝努利(Bernoulli)不等式如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,则有___________.(1+x)n>1+nx【即时小测】1.用数学归纳法证明不等式成立,起始值至少应取为()A.7B.8C.9D.10【解析】选B.左边的和为=2-21-n,当n=8时,和为2-2-7>2.用数学归纳法证明:(n≥2,n∈N*)时第一步需要证明()【解析】选C.用数学归纳法证明(n≥2,n∈N*),第一步应验证不等式为:【知识探究】探究点贝努利不等式1.在应用贝努利不等式时应注意什么?提

2、示:在应用贝努利不等式时要注意应用条件x>-1,且x≠0,n是大于1的自然数.2.在利用数学归纳法证明贝努利不等式时n的初始值应选什么?提示:因为n为大于1的自然数,故n的初始值为2.【归纳总结】1.贝努利不等式成立的两个条件一是x的范围是x>-1且x≠0,x∈R.二是n为大于1的自然数.2.贝努利不等式的推广当指数n推广到任意实数α时,x>-1时,①若0<α<1,则(1+x)α≤1+αx;②若α<0或α>1,则(1+x)α≥1+αx.当且仅当x=0时等号成立.类型一用数学归纳法证明有关函数中的不等关系【典例】已知f(x)=.对于n∈N

3、+,试比较f()与的大小并说明理由.【解题探究】解答本例的解题方向是什么?提示:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.【解析】根据题意f(x)=所以要比较f()与的大小,只需比较2n与n2的大小即可,当n=1时,21=2>12=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=8<32=9,当n=4时,24=16=42,当n=5时,25=32>52=25,当n=6时,26=64>62=36.故猜测当n≥5(n∈N+)时,2n>n2,下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2n>n2显然成立.(2)假设n

4、=k(k≥5,且k∈N+)时,不等式2n>n2成立,即2k>k2(k≥5),则当n=k+1时,2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(因为(k-1)2>2).由(1)(2)可知,对一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.综上所述,当n=1或n≥5时,f()>;当n=2或n=4时,f()=;当n=3时,f()<.【方法技巧】利用数学归纳法解决比较大小问题的方法利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.

5、【变式训练】1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)42,故可推得

6、k≥4时,f(k)≥k2,故只有D正确.2.(2016·淮南高二检测)已知函数f(x)=(其中e为自然对数的底数).证明:当x>0时,对任意正整数n都有f0时,f(x)=,所以f=x2e-x考虑到:x>0时,不等式f0).因为x>0时,g′(x)=ex-1>0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=1>0

7、,即ex>x(x>0),所以,当n=1时,不等式(*)成立.(2)假设n=k(k∈N+)时,不等式(*)成立,即xk0),有h′(x)=(k+1)!·ex-(k+1)xk=(k+1)(k!·ex-xk)>0,故h(x)=(k+1)!·ex-xk+1(x>0)为增函数,所以h(x)>h(0)=(k+1)!>0,即xk+1<(k+1)!·ex,这说明当n=k+1时不等式(*)也成立,根据(1)(2)可知不等式(*)对一切n∈N*都成立,故原不等式对一切n∈N+都成立

8、.类型二数学归纳法证明不等式【典例】已知Sn=(n>1,n∈N+),求证:(n≥2,n∈N+).【解题探究】本例能否先求Sn,再证明不等式?提示:不能.若先求Sn再证明会比较困难.【证明】(1)当n=2时,