高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案

《高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3．1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标　1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一　二倍角公式的推导思考1　二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案　sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosα

2、cosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；tan2α＝tan(α＋α)＝(α≠＋kπ，2α≠＋kπ，k∈Z)．思考2　根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答案　cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.知识点二　二倍角公式的变形1．公式的逆用2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，cos2

3、α－sin2α＝cos_2α，＝tan2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，1＋cosα＝2cos2,1－cosα＝2sin2.降幂公式cos2α＝，sin2α＝.1．sinα＝2sincos.(　√　)2．cos4α＝cos22α－sin22α.(　√　)3．对任意角α，tan2α＝.(　×　)提示　公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝及α＝，上式均无意义.类型一　给角求值例1　(1)计算：cos2－sin2；考点　应用二倍角

4、公式化简求值题点　利用余弦的二倍角公式化简求值解　原式＝cos＝.(2)计算：；考点　应用二倍角公式化简求值题点　利用正切的二倍角公式化简求值解　＝2·＝2·＝－2.(3)计算：cos20°cos40°cos80°.考点　应用二倍角公式化简求值题点　利用正弦的二倍角公式化简求值解　原式＝·2sin20°cos20°cos40°cos80°＝·sin40°·cos40°cos80°＝sin80°cos80°＝·sin160°＝＝.反思与感悟　对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和

5、同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1　(1)coscoscos的值为(　　)A.B．－C.D．－考点　应用二倍角公式化简求值题点　利用正弦的二倍角公式化简求值答案　D解析　coscoscos＝cos··＝＝＝＝＝－.(2)－cos2＝________；考点　应用二倍角公式化简求值题点　利用余弦的二倍角公式化简

6、求值答案　－解析　原式＝＝－cos＝－.类型二　给值求值例2　(1)若sinα－cosα＝，则sin2α＝________.考点　应用二倍角公式化简求值题点　综合应用二倍角公式化简求值答案　解析　(sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝2，即sin2α＝1－2＝.(2)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　)A.B.C．1D.考点　应用二倍角公式化简求值题点　综合应用二倍角公式化简求值答案　A解析　cos2α＋2sin2α＝＝.把tanα＝代入，得cos2

7、α＋2sin2α＝＝＝.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sinα＋cosα＝，求sin2α.解　由题意，得(sinα＋cosα)2＝，∴1＋2sinαcosα＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.反思与感悟　(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.跟踪训练2　(1)(2017·石家庄高一检测)若s

8、in(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为(　　)A．－B．－C.D.考点　二倍角的正弦、余弦、正切公式题点　利有二倍角公式求二倍角的正弦值答案　A解析　因为sin(π－α)＝，所以sinα＝，又因为≤α≤π，所以cosα＝－＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.(2)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________.考点　应用二倍角公式化简求值