高考数学一轮复习高考大题增分课二三角函数与解三角形中的高考热点问题教学案文含解析北师大版

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1、二三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用及变形公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．三角函数的图像与性质要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法

2、求解．【例1】　(2017·浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及递增区间．[解]　(1)由sin＝，cos＝－，得f＝－－2××，所以f＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin，所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的递增区间是(k∈Z)．[规律方法]　求函数的单调区间，应先通过三角恒等变换把函数化为y＝

3、Asin(ωx＋φ)的形式，再把“ωx＋φ”视为一个整体，结合函数y＝sinx的单调性找到“ωx＋φ”对应的条件，通过解不等式可得单调区间．(2019·北京海淀模拟)已知函数f(x)＝sin2xcos－cos2xsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数f(x)在上的最大值．[解]　(1)f(x)＝sin2xcos－cos2xsin＝sin2x－，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，因为y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，f(x)的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.(2)因为x∈，所以2x∈[

4、0，π]，所以2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，f(x)在上的最大值为1.解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是边角互化，结合三角恒等变换进行化简与求值．【例2】　(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[信息提取]　看到条件△ABC的面积，想到三角形面积公式；看到(2)中6cosBcosC＝1和(1)的结论，想到两角和的余弦公式，可求角A，

5、进而利用面积公式和余弦定理求b＋c.[规范解答]　(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.2分由正弦定理得sinCsinB＝.故sinBsinC＝.5分(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.7分由题设得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.9分由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.11分故△ABC的周长为3＋.12分[易错与防范]　易错误区：(1)三角形面积公式选用不当，导致无法求解第(1)问．(2)根据6cosBcosC＝1和sinBsinC＝，

6、联想不到使用公式cos(B＋C)＝cosBcosC－sinBsinC．导致无法求解第(2)问．防范措施：(1)在选用面积公式时，应保证消去sinA，故应选择公式S△ABC＝absinC或S△ABC＝acsinB．](2)对于两角和与差的正弦、余弦和正切公式应加强逆用的应用意识，根据公式的结构特征恰当选择公式．[通性通法]　解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理

7、；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．(2019·莆田模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC＝(acosB＋bcosA)．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．[解]　(1)∵ctanC＝(acosB＋bcosA)，∴sinCtanC＝(sinAcosB＋sinBcosA)，∴sinCtanC＝sin(A＋B)＝sinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴tanC＝，∴C＝60°.(2)∵c＝2，C＝60°，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得12＝a2＋b2－ab≥2ab－