2020版高考数学高考大题增分课2三角函数与解三角形中的高考热点问题教学案理北师大版

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1、高考大题增分课[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第17题交替考查解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题．解三角形以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用．【例1】　(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上

2、一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解]　(1)由已知可得tanA＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.[规律方法]　1.正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，

3、要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(2018·郑州二模)△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3.(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD

4、＝，求△ABC的面积．[解]　(1)2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，由正弦定理得bsinB－asinA＝bsinC－csinC，则b2－a2＝bc－c2.所以cosA＝＝，所以A＝60°.(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos120°，即19＝9＋AC2－2×3×AC×，解得AC＝2(舍负)．故S△ABC＝bcsinA＝×2×3×＝.三角恒等变换与解三角形以三角形为载体，三角恒等变换

5、与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．【例2】　(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求B．[解]　(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，c

6、osB＝.(2)由cosB＝得sinB＝，故S△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.所以b＝2.[规律方法]　1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．在△ABC中，a，

7、b，c分别是内角A，B，C的对边，且(a＋c)2＝b2＋3ac.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，且sinB＋sin(C－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．[解]　(1)由(a＋c)2＝b2＋3ac，整理得a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理得cosB＝＝＝，∵0＜B＜π，∴B＝.(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，即B＝π－(A＋C)，故sinB＝sin(A＋C)，由已知sinB＋sin(C－A)＝2sin2A可得sin(A＋C)＋sin(C－A)＝2sin2A，∴sinAcosC＋cosAsinC

8、＋sinCcosA－cosCsinA＝4sinAcosA，整理得cosAsinC＝2sinAcosA.若cosA＝0，则A＝，由b＝2，可得c＝＝，此时△ABC的面积S＝bc＝.若cosA≠0，则sinC＝2sinA，由正弦定理可知，c＝2a，代入a2＋c2－b2＝ac，整理可得3a2＝4，解得a＝，∴c＝，此时△ABC的面积S＝acsinB＝.综上所述，△ABC的面积为.平面图形中的几何度量问题以四边形为载体，通过分割或补形