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《高考数学第4章平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当a与b的夹角是9
2、0°时，a与b垂直，记作a⊥b，当a与b的夹角为0°时，a∥b，且a与b同向，当a与b的夹角为180°时，a∥b，且a与b反向．2．平面向量的数量积定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量
3、a
4、
5、b
6、·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为0投影
7、a
8、cosθ叫做向量a在b方向上的投影；
9、b
10、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度
11、a
12、与b在a的方向上的投影
13、b
14、cosθ的乘积3.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝
15、b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模
16、a
17、＝
18、a
19、＝数量积a·b＝
20、a
21、
22、b
23、cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
24、a·b
25、与
26、a
27、
28、b
29、的关系
30、a·b
31、≤
32、a
33、
34、b
35、
36、x1x2＋y1y2
37、≤·1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共
38、线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3．当a与b同向时，a·b＝
39、a
40、
41、b
42、；当a与b反向时，a·b＝－
43、a
44、
45、b
46、.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，向量与的夹角为∠B.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(3)若a·b＞0，则a和b
47、的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．()(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为()A．－4B．4C.D．－A [a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得t＝－4，故选A.]3．(教材改编)已知
48、a
49、＝2，
50、b
51、＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.D [cosθ＝＝＝－，又0≤θ≤π，则θ＝，故选D.]4．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3
52、，m)，且a⊥b，则m＝________.2 [由a⊥b得a·b＝0，即－6＋3m＝0，解得m＝2.]5．(教材改编)已知
53、a
54、＝5，
55、b
56、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
57、b
58、cosθ＝4×cos120°＝－2.]平面向量数量积的运算1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足
59、a
60、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B [因为
61、a
62、＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2
63、
64、a
65、2－a·b＝2×12－(－1)＝3，故选B.]2．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为()A．－B．－3C.D．3C [因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为
66、
67、cos〈，〉＝＝＝，故选C.]3．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为()A．－B.C.D.B [如图所示，＝＋.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所
68、以＝，＝＋＝，所以＝＋.又＝－，则·＝·(－)＝·－2＋2－·＝2－2－·.又
69、
70、＝
71、
72、＝1，∠BAC＝60°，故·＝－－×1×1×＝.故选B.][规律方法] 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝
73、a
74、
75、b
76、cos〈a，b〉.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.平面
