高考数学课后限时集训24平面向量的概念及线性运算（含解析）理

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1、课后限时集训(二十四)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为()A．1B．2C．3D．0D　[对于①，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段，故①错．对于②，当a与b中有一个是0时，a与b的方向不一定相同或相反，故②错．对于③，直线AB与CD也可能平行，故③错．对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④错．]2．在△ABC中，已

2、知M是BC中点，设＝a，＝b，则＝()A.a－bB.a＋bC．a－bD．a＋bA　[＝＋＝－＋＝－b＋a，故选A.]3．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是()A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，DB　[因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线．]4．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于()A.B.C．－D．－A　[∵＝2，即－＝2(－)，∴＝＋，∴λ＝.]5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的

3、一个充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且

4、a

5、＝

6、b

7、C　[＝⇔a＝⇔a与b共线且同向⇔a＝λb且λ>0.B，D选项中a和b可能反向．A选项中λ<0，不符合λ>0.]二、填空题6．给出下列命题：①若

8、a

9、＝

10、b

11、，则a＝b或a＝－b；②若A、B、C、D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若λa＝0(λ为实数)，则λ＝0；④若两个向量共线，则其方向必定相同或相反，其中真命题的序号是________．②　[对于①，向量a与b的方向可以是任意的，故①错；对于②，由＝，可得

12、

13、

14、＝

15、

16、，且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，因此四边形ABCD为平行四边形，反之也成立，故②正确；对于③，当a＝0，λ＝1时，λa＝0，故③错；对于④，当两个向量有一个零向量时，两个向量的方向不一定相同或相反，故④错．]7．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，则四边形ABCD的形状为________．平行四边形　[由＋＝＋得－＝－，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．]8．(2019·郑州模拟)在△ABC中，＝3，＝x＋y，则＝________.3　[由＝3得＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝

17、＋，所以x＝，y＝，因此＝3.]三、解答题9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.[解]　＝(＋)＝a＋b.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.10．设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A，C，D三点共线，求k的值．[解]　(1)证明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，∴＝＋＝4e

18、1＋e2＝－(－8e1－2e2)＝－，∴与共线．又∵与有公共点C，∴A，C，D三点共线．(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2.∵A，C，D三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得解得λ＝，k＝.B组　能力提升1．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2　B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1D　[因为A，B，C三点共线，所以∥，设＝m(m≠0)，所以所以λμ＝1，故选D.]2．如图

19、所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为()A.B.C.D.B　[注意到N，P，B三点共线，因此＝m＋＝m＋，从而m＋＝1⇒m＝.故选B.]3．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n(n∈N且n≥2)等分点中最靠近点D的点，线段AE的延长线交CD于点F，若＝x＋，则x＝________(用含有n的代数式表示)．　[依题意与图形得＝＝(n∈N且n≥2)，所以＝，所以＝＋＝＋，又因为＝x＋，所以x＝.]4．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，

20、B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.[证明]　(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，所以－＝m(－)，即＝m，所以与共线．又因为与有公共点B，所以A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，所以－＝λ(－)．又＝m＋n.故有m＋